题目
4.设随机变量X服从参数为1的指数分布,求 =X+(e)^-2X 的数学期望.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
随机变量X服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = e^{-x}$，其中$x \geq 0$。
步骤 2：计算$Y=X+e^{-2X}$的数学期望
$E(Y) = E(X + e^{-2X}) = E(X) + E(e^{-2X})$。
由于X服从参数为1的指数分布，其数学期望$E(X) = \frac{1}{1} = 1$。
接下来计算$E(e^{-2X})$，即$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx$。
计算积分$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx = \left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：计算最终的数学期望
$E(Y) = E(X) + E(e^{-2X}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。
随机变量X服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = e^{-x}$，其中$x \geq 0$。
步骤 2：计算$Y=X+e^{-2X}$的数学期望
$E(Y) = E(X + e^{-2X}) = E(X) + E(e^{-2X})$。
由于X服从参数为1的指数分布，其数学期望$E(X) = \frac{1}{1} = 1$。
接下来计算$E(e^{-2X})$，即$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx$。
计算积分$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx = \left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：计算最终的数学期望
$E(Y) = E(X) + E(e^{-2X}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。