题目
1.设C为沿x²+y²=R²逆时针方向一周，则用格林公式计算I=oint_(c)-x^2ydx+xy^2dy=（ ）A. int_(0)^2pidthetaint_(0)^Rr^2dr;B. int_(0)^2pidthetaint_(0)^R4r^3sinthetacostheta dr;C. int_(0)^2pidthetaint_(0)^RR^2rdr;D. int_(0)^2pidthetaint_(0)^Rr^3dr.
1.设C为沿x²+y²=R²逆时针方向一周，则用格林公式计算$I=\oint_{c}-x^{2}ydx+xy^{2}dy=$（ ）
A. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}r^{2}dr;$
B. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}4r^{3}\sin\theta\cos\theta dr;$
C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}R^{2}rdr;$
D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}r^{3}dr.$
题目解答
答案
D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}r^{3}dr.$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式将曲线积分转换为二重积分，公式为：\[ I = \oint_C -x^2y \, dx + xy^2 \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA, \] 其中 $ P = -x^2y $，$ Q = xy^2 $。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数：\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \] 因此，\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 + x^2 = x^2 + y^2. \]
步骤 3：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分，$ x = r\cos\theta $，$ y = r\sin\theta $，则 $ x^2 + y^2 = r^2 $，面积元素 $ dA = r \, dr \, d\theta $。积分区域为 $ 0 \leq r \leq R $，$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。
步骤 4：计算二重积分
代入极坐标下的积分表达式：\[ I = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 \, dr \, d\theta. \]
格林公式将曲线积分转换为二重积分，公式为：\[ I = \oint_C -x^2y \, dx + xy^2 \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA, \] 其中 $ P = -x^2y $，$ Q = xy^2 $。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数：\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \] 因此，\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 + x^2 = x^2 + y^2. \]
步骤 3：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分，$ x = r\cos\theta $，$ y = r\sin\theta $，则 $ x^2 + y^2 = r^2 $，面积元素 $ dA = r \, dr \, d\theta $。积分区域为 $ 0 \leq r \leq R $，$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。
步骤 4：计算二重积分
代入极坐标下的积分表达式：\[ I = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 \, dr \, d\theta. \]