1.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

设随机变量 $ X $ 表示4次掷均匀硬币中出现国徽的次数，$ X $ 服从二项分布 $ B(4, \frac{1}{2}) $。其概率质量函数为： \[ P(X = k) = \binom{4}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{\binom{4}{k}}{16}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4 \] 计算得： \[ P(X = 0) = \frac{1}{16}, \quad P(X = 1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \quad P(X = 2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}, \quad P(X = 3) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \quad P(X = 4) = \frac{1}{16} \] 分布函数 $ F(x) = P(X \leq x) $ 为： \[ \boxed{ \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{16}, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{5}{16}, & 1 \leq x < 2 \\ \frac{11}{16}, & 2 \leq x < 3 \\ \frac{15}{16}, & 3 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases} } \]