题目
1.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
1.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
题目解答
答案
设随机变量 $ X $ 表示4次掷均匀硬币中出现国徽的次数，$ X $ 服从二项分布 $ B(4, \frac{1}{2}) $。其概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \binom{4}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{\binom{4}{k}}{16}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4
\]
计算得：
\[
P(X = 0) = \frac{1}{16}, \quad P(X = 1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \quad P(X = 2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}, \quad P(X = 3) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \quad P(X = 4) = \frac{1}{16}
\]
分布函数 $ F(x) = P(X \leq x) $ 为：
\[
\boxed{
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
\frac{1}{16}, & 0 \leq x < 1 \\
\frac{5}{16}, & 1 \leq x < 2 \\
\frac{11}{16}, & 2 \leq x < 3 \\
\frac{15}{16}, & 3 \leq x < 4 \\
1, & x \geq 4
\end{cases}
}
\]
解析
本题考查二项分布的概率质量函数以及分布函数的求解。解题思路如下：
- 首先判断随机变量$X$服从的分布：因为掷一枚均匀硬币，每次出现国徽的概率$p = \frac{1}{2}$，独立重复掷$4$次，所以随机变量$X$服从参数为$n = 4$，$p=\frac{1}{2}$的二项分布，即$X\sim B(4,\frac{1}{2})$。
- 然后根据二项分布的概率质量函数公式$P(X = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$计算$X$取不同值时的概率：
- 当$k = 0$时，$P(X = 0)=\binom{4}{0}(\frac{1}{2})^{0}(1-\frac{1}{2})^{4 - 0}$。
- 根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$\binom{4}{0}=\frac{4!}{0!(4 - 0)!}=\frac{4!}{4!}=1$，$(\frac{1}{2})^{0}=1$，$(1-\frac{1}{2})^{4}=(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$，所以$P(X = 0)=1\times1\times\frac{1}{16}=\frac{1}{16}$。
- 当$k = 1$时，$P(X = 1)=\binom{4}{1}(\frac{1}{2})^{1}(1-\frac{1}{2})^{4 - 1}$。
- 计算组合数$\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}=\frac{4!}{1!3!}=4$，$(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{2}$，$(1-\frac{1}{2})^{3}=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，则$P(X = 1)=4\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{8}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
- 当$k = 2$时，$P(X = 2)=\binom{4}{2}(\frac{1}{2})^{2}(1-\frac{1}{2})^{4 - 2}$。
- 计算组合数$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3\times2!}{2!\times2!}=6$，$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$(1-\frac{1}{2})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，所以$P(X = 2)=6\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
- 当$k = 3$时，$P(X = 3)=\binom{4}{3}(\frac{1}{2})^{3}(1-\frac{1}{2})^{4 - 3}$。
- 计算组合数$\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4 - 3)!}=\frac{4!}{3!1!}=4$，$(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，$(1-\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{2}$，则$P(X = 3)=4\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
- 当$k = 4$时，$P(X = 4)=\binom{4}{4}(\frac{1}{2})^{4}(1-\frac{1}{2})^{4 - 4}$。
- 计算组合数$\binom{4}{4}=\frac{4!}{4!(4 - 4)!}=1$，$(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$，$(1-\frac{1}{2})^{0}=1$，所以$P(X = 4)=1\times\frac{1}{16}\times1=\frac{1}{16}$。
- 当$k = 0$时，$P(X = 0)=\binom{4}{0}(\frac{1}{2})^{0}(1-\frac{1}{2})^{4 - 0}$。
- 最后根据分布函数的定义$F(x)=P(X\leq x)$来确定分布函数：
- 当$x\lt0$时，$X$取值小于$0$的概率为$0$，即$F(x)=P(X\leq x)=0$。
- 当$0\leq x\lt1$时，$X$能取到的值只有$0$，所以$F(x)=P(X\leq x)=P(X = 0)=\frac{1}{16}$。
- 当$1\leq x\lt2$时，$X$能取到的值为$0$和$1$，则$F(x)=P(X\leq x)=P(X = 0)+P(X = 1)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{5}{16}$。
- 当$2\leq x\lt3$时，$X$能取到的值为$0$，$1$，$2$，所以$F(x)=P(X\leq x)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}=\frac{11}{16}$。
- 当$3\leq x\lt4$时，$X$能取到的值为$0$，$1$，$2$，$3$，则$F(x)=P(X\leq x)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}=\frac{15}{16}$。
- 当$x\geq4$时，$X$能取到的值为$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，所以$F(x)=P(X\leq x)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=1$。