题目
3.指出下列等式和命题是否成立,并说明理由:-|||-(1) cup B=(AB)cup B;-|||-(2) overline (A)B=Acup B:-|||-(3) overline (Acup B)cap C=overline (AB)C;-|||-(4) (AB)(overline (AB))=phi ;-|||-(5)若A⊆B,则 =AB;-|||-(6)若 =varnothing , 且C⊆A,则 =varnothing ;-|||-(7)若A⊆B,则A⊆B;-|||-(8)若B⊆A,则 cup B=A.
题目解答
答案
本题考查集合的运算，属于基础题。
(1)成立，由并集的性质可知，$A\cup B=(A\cap B)\cup B$
(2)不成立，$A\cap B$是集合A和集合B的交集，$A\cup B$是集合A和集合B的并集，所以$A\cap B\neq A\cup B$
(3)不成立，$A\cup B\cap C$是集合A和集合B的并集与集合C的交集，$A\cap B\cap C$是集合A和集合B的交集与集合C的交集，所以$A\cup B\cap C\neq A\cap B\cap C$
(4)不成立，$(A\cap B)\cap (A\cap B)=A\cap B$，所以$(A\cap B)\cap (A\cap B)\neq \varnothing$
(5)成立，由集合的性质可知，若集合A是集合B的子集，则$A\cap B=A$
(6)成立，由集合的性质可知，若集合A是集合B的子集，则$A\cap C=C$，所以$(A\cap C)\cap B=C\cap B=\varnothing$
(7)不成立，$\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$，所以$\overline{A}\cap \overline{B}\neq \overline{A\cup B}$
(8)成立，由集合的性质可知，若集合B是集合A的子集，则$A\cup B=A$
解析
步骤 1：分析等式和命题 (1)
$A\cup B=(AB)\cup B$，其中$AB$表示$A\cap B$。根据并集的性质，$A\cup B$是集合A和集合B的并集，而$(A\cap B)\cup B$是集合A和集合B的交集与集合B的并集。由于$(A\cap B)\cup B=B$，所以$A\cup B=(A\cap B)\cup B$成立。
步骤 2：分析等式和命题 (2)
$\overline{A}B=A\cup B$，其中$\overline{A}$表示集合A的补集。根据补集和并集的性质，$\overline{A}B$是集合A的补集与集合B的交集，而$A\cup B$是集合A和集合B的并集。由于$\overline{A}B\neq A\cup B$，所以该命题不成立。
步骤 3：分析等式和命题 (3)
$\overline{A\cup B}\cap C=\overline{AB}C$，其中$\overline{A\cup B}$表示集合A和集合B的并集的补集，$\overline{AB}$表示集合A和集合B的交集的补集。根据补集和交集的性质，$\overline{A\cup B}\cap C$是集合A和集合B的并集的补集与集合C的交集，而$\overline{AB}C$是集合A和集合B的交集的补集与集合C的交集。由于$\overline{A\cup B}\cap C\neq \overline{AB}C$，所以该命题不成立。
步骤 4：分析等式和命题 (4)
$(AB)(\overline{AB})=\otimes$，其中$\otimes$表示空集。根据交集和补集的性质，$(AB)(\overline{AB})$是集合A和集合B的交集与集合A和集合B的交集的补集的交集。由于$(AB)(\overline{AB})=\varnothing$，所以该命题不成立。
步骤 5：分析等式和命题 (5)
若$A\subseteq B$，则$A=AB$。根据集合的性质，若集合A是集合B的子集，则$A\cap B=A$。所以该命题成立。
步骤 6：分析等式和命题 (6)
若$AB=\varnothing$，且$C\subseteq A$，则$BC=\varnothing$。根据集合的性质，若集合A和集合B的交集为空集，且集合C是集合A的子集，则$C\cap B=\varnothing$。所以该命题成立。
步骤 7：分析等式和命题 (7)
若$A\subseteq B$，则$A\subseteq B$。根据集合的性质，若集合A是集合B的子集，则$A\subseteq B$。所以该命题成立。
步骤 8：分析等式和命题 (8)
若$B\subseteq A$，则$A\cup B=A$。根据集合的性质，若集合B是集合A的子集，则$A\cup B=A$。所以该命题成立。
$A\cup B=(AB)\cup B$，其中$AB$表示$A\cap B$。根据并集的性质，$A\cup B$是集合A和集合B的并集，而$(A\cap B)\cup B$是集合A和集合B的交集与集合B的并集。由于$(A\cap B)\cup B=B$，所以$A\cup B=(A\cap B)\cup B$成立。
步骤 2：分析等式和命题 (2)
$\overline{A}B=A\cup B$，其中$\overline{A}$表示集合A的补集。根据补集和并集的性质，$\overline{A}B$是集合A的补集与集合B的交集，而$A\cup B$是集合A和集合B的并集。由于$\overline{A}B\neq A\cup B$，所以该命题不成立。
步骤 3：分析等式和命题 (3)
$\overline{A\cup B}\cap C=\overline{AB}C$，其中$\overline{A\cup B}$表示集合A和集合B的并集的补集，$\overline{AB}$表示集合A和集合B的交集的补集。根据补集和交集的性质，$\overline{A\cup B}\cap C$是集合A和集合B的并集的补集与集合C的交集，而$\overline{AB}C$是集合A和集合B的交集的补集与集合C的交集。由于$\overline{A\cup B}\cap C\neq \overline{AB}C$，所以该命题不成立。
步骤 4：分析等式和命题 (4)
$(AB)(\overline{AB})=\otimes$，其中$\otimes$表示空集。根据交集和补集的性质，$(AB)(\overline{AB})$是集合A和集合B的交集与集合A和集合B的交集的补集的交集。由于$(AB)(\overline{AB})=\varnothing$，所以该命题不成立。
步骤 5：分析等式和命题 (5)
若$A\subseteq B$，则$A=AB$。根据集合的性质，若集合A是集合B的子集，则$A\cap B=A$。所以该命题成立。
步骤 6：分析等式和命题 (6)
若$AB=\varnothing$，且$C\subseteq A$，则$BC=\varnothing$。根据集合的性质，若集合A和集合B的交集为空集，且集合C是集合A的子集，则$C\cap B=\varnothing$。所以该命题成立。
步骤 7：分析等式和命题 (7)
若$A\subseteq B$，则$A\subseteq B$。根据集合的性质，若集合A是集合B的子集，则$A\subseteq B$。所以该命题成立。
步骤 8：分析等式和命题 (8)
若$B\subseteq A$，则$A\cup B=A$。根据集合的性质，若集合B是集合A的子集，则$A\cup B=A$。所以该命题成立。