(int )_(1)^esin (ln x)dx;

步骤 1：换元法
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$dx = e^t dt$。当 $x = 1$ 时，$t = 0$；当 $x = e$ 时，$t = 1$。因此，原积分变为 ${\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt$。
步骤 2：分部积分法
使用分部积分法，设 $u = \sin t$，$dv = e^t dt$，则 $du = \cos t dt$，$v = e^t$。根据分部积分公式 ${\int }_{a}^{b}u dv = uv|_{a}^{b} - {\int }_{a}^{b}v du$，我们有：
${\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt = e^t \sin t|_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1}e^t \cos t dt$。
步骤 3：再次使用分部积分法
对 ${\int }_{0}^{1}e^t \cos t dt$ 再次使用分部积分法，设 $u = \cos t$，$dv = e^t dt$，则 $du = -\sin t dt$，$v = e^t$。根据分部积分公式，我们有：
${\int }_{0}^{1}e^t \cos t dt = e^t \cos t|_{0}^{1} + {\int }_{0}^{1}e^t \sin t dt$。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，我们得到：
${\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt = e\sin 1 - e\cos 1 + 1 - {\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt$。
步骤 5：解方程
将 ${\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt$ 从等式两边移项，得到：
$2{\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt = e\sin 1 - e\cos 1 + 1$。
步骤 6：求解
解得 ${\int }_{0}^{1}\sin t\cdot {e}^{t}dt = \dfrac{1}{2}(e\sin 1 - e\cos 1 + 1)$。