题目
在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以v0的速率收绳时，试求船的速率与加速度各有多大．
在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以v0的速率收绳时，试求船的速率与加速度各有多大．
题目解答
答案
解：由题，船的运动分解如图：
将小船的速度v分解为沿绳子方向的v1和垂直于绳子方向的v2，则：v0=v1=vcosθ；
其中：$cosθ=\frac{s}{\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}$
则：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$
根据加速度的定义可知，小船的加速度等于其速度的导数，则：
a=$\frac{dv}{dt}$=$\frac{{v}_{0}sinθ}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．
答：船的速率是$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$，加速度是$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．
将小船的速度v分解为沿绳子方向的v1和垂直于绳子方向的v2，则：v0=v1=vcosθ；
其中：$cosθ=\frac{s}{\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}$
则：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$
根据加速度的定义可知，小船的加速度等于其速度的导数，则：
a=$\frac{dv}{dt}$=$\frac{{v}_{0}sinθ}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．
答：船的速率是$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$，加速度是$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．
解析
步骤 1：确定船的运动分解
船的运动可以分解为沿绳子方向的运动和垂直于绳子方向的运动。由于人以速率v_0收绳，所以沿绳子方向的船速v_1等于v_0。设船的总速率为v，绳子与水平方向的夹角为θ，则有v_1 = vcosθ。
步骤 2：计算船的速率
由三角函数关系，cosθ = s / √(s^2 + h^2)，其中s是船离岸边的距离，h是岸边离水面的高度。因此，船的速率v = v_0 / cosθ = v_0 * √(s^2 + h^2) / s。
步骤 3：计算船的加速度
加速度a是速率v对时间t的导数。由于v = v_0 * √(s^2 + h^2) / s，且s随时间变化，因此需要对v关于时间t求导。利用链式法则，得到a = dv/dt = v_0 * h * √(s^2 + h^2) / s^2。
船的运动可以分解为沿绳子方向的运动和垂直于绳子方向的运动。由于人以速率v_0收绳，所以沿绳子方向的船速v_1等于v_0。设船的总速率为v，绳子与水平方向的夹角为θ，则有v_1 = vcosθ。
步骤 2：计算船的速率
由三角函数关系，cosθ = s / √(s^2 + h^2)，其中s是船离岸边的距离，h是岸边离水面的高度。因此，船的速率v = v_0 / cosθ = v_0 * √(s^2 + h^2) / s。
步骤 3：计算船的加速度
加速度a是速率v对时间t的导数。由于v = v_0 * √(s^2 + h^2) / s，且s随时间变化，因此需要对v关于时间t求导。利用链式法则，得到a = dv/dt = v_0 * h * √(s^2 + h^2) / s^2。