题目
计算 ^2-z)dz 的值,I为包含圆周 |z|=1 在内的任何-|||-正向简单闭曲线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的奇点
函数 $\dfrac {2z-1}{{z}^{2}-z}$ 可以分解为 $\dfrac {2z-1}{z(z-1)}$。因此，函数在 $z=0$ 和 $z=1$ 处有奇点。
步骤 2：应用复合闭路定理
根据复合闭路定理，如果一个闭合曲线包含多个奇点，我们可以将这个闭合曲线分解为多个小闭合曲线，每个小闭合曲线只包含一个奇点。这样，原积分可以分解为多个小积分的和。
步骤 3：计算每个小闭合曲线上的积分
对于包含 $z=0$ 的小闭合曲线 $C_1$，积分 $\int_{C_1} \dfrac {2z-1}{z(z-1)}dz$ 可以简化为 $\int_{C_1} \dfrac {1}{z}dz$，因为 $z=0$ 是一个一阶极点。根据柯西积分公式，这个积分的值为 $2\pi i$。
对于包含 $z=1$ 的小闭合曲线 $C_2$，积分 $\int_{C_2} \dfrac {2z-1}{z(z-1)}dz$ 可以简化为 $\int_{C_2} \dfrac {1}{z-1}dz$，因为 $z=1$ 是一个一阶极点。根据柯西积分公式，这个积分的值也为 $2\pi i$。
步骤 4：求和
将两个小闭合曲线上的积分求和，得到原积分的值为 $2\pi i + 2\pi i = 4\pi i$。
函数 $\dfrac {2z-1}{{z}^{2}-z}$ 可以分解为 $\dfrac {2z-1}{z(z-1)}$。因此，函数在 $z=0$ 和 $z=1$ 处有奇点。
步骤 2：应用复合闭路定理
根据复合闭路定理，如果一个闭合曲线包含多个奇点，我们可以将这个闭合曲线分解为多个小闭合曲线，每个小闭合曲线只包含一个奇点。这样，原积分可以分解为多个小积分的和。
步骤 3：计算每个小闭合曲线上的积分
对于包含 $z=0$ 的小闭合曲线 $C_1$，积分 $\int_{C_1} \dfrac {2z-1}{z(z-1)}dz$ 可以简化为 $\int_{C_1} \dfrac {1}{z}dz$，因为 $z=0$ 是一个一阶极点。根据柯西积分公式，这个积分的值为 $2\pi i$。
对于包含 $z=1$ 的小闭合曲线 $C_2$，积分 $\int_{C_2} \dfrac {2z-1}{z(z-1)}dz$ 可以简化为 $\int_{C_2} \dfrac {1}{z-1}dz$，因为 $z=1$ 是一个一阶极点。根据柯西积分公式，这个积分的值也为 $2\pi i$。
步骤 4：求和
将两个小闭合曲线上的积分求和，得到原积分的值为 $2\pi i + 2\pi i = 4\pi i$。