题目
10 某教科书印制了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册有错误的概率.
10 某教科书印制了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册有错误的概率.
题目解答
答案
设 $ X $ 表示2000册书中出错的册数，$ X $ 服从二项分布 $ B(2000, 0.001) $。由于 $ n = 2000 $ 很大，$ p = 0.001 $ 很小，可使用泊松分布近似，其中 $ \lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2 $。
泊松分布的概率公式为：
\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
\]
代入 $ k = 5 $ 和 $ \lambda = 2 $，得：
\[
P(X = 5) = \frac{2^5}{5!} e^{-2} = \frac{32}{120} e^{-2} \approx 0.036
\]
因此，恰有5册有错误的概率约为 $ 0.036 $。
答案：$\boxed{0.036}$
解析
考查要点：本题主要考查二项分布的泊松近似应用，涉及概率模型选择和近似计算。
解题核心思路：
当试验次数$n$很大，成功概率$p$很小，且乘积$\lambda = np$适中时，二项分布$B(n,p)$可以用泊松分布$\text{Pois}(\lambda)$近似。此时，计算恰好发生$k$次事件的概率可转化为泊松分布的概率公式。
破题关键点：
- 判断适用条件：确认$n=2000$足够大，$p=0.001$足够小，且$\lambda=np=2$不极端。
- 选择泊松公式：直接代入泊松概率公式$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$计算。
设$X$表示2000册书中出错的册数，$X$服从二项分布$B(2000, 0.001)$。由于$n=2000$很大，$p=0.001$很小，且$\lambda=np=2$，可用泊松分布近似。
泊松分布公式：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
代入计算：
- 计算$\lambda^k$：$\lambda=2$，$k=5$，得$2^5=32$。
- 计算分母$k!$：$5! = 120$。
- 计算指数项：$e^{-2} \approx 0.1353$。
- 综合结果：
$P(X=5) = \frac{32}{120} \times 0.1353 \approx 0.036$