题目

如题图所示，一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷.假定圆盘绕其轴线AA'以角速度ω(rad/s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA'.试证磁作用于圆盘的力矩的大小为=dfrac (pi oo{K)^4B}(4)(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑.）=dfrac (pi oo{K)^4B}(4)

如题图所示，一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷.假定圆盘绕其轴线AA'以角速度ω(rad/s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA'.试证磁作用于圆盘的力矩的大小为 $M=\frac{\pi\sigma\omega R^4B}{4}$ (提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑.）

题目解答

证：取圆环 $dS=2\pi rdr$ ,它的等效电流为

$dI=\frac{dq}{T}=\frac{\omega}{2\pi}dq=\frac{\omega}{2\pi}\sigma dS=\omega\sigma rdr$

根据电流元与磁场之间的关系，我们可以求得圆环的等效磁矩为

$dP_m=\pi r^2dI=\pi\omega\sigma r^3dr$

根据电磁学中磁力矩的定义，每个圆环受到磁力矩 $dM=dP_m\times B$ ，方向垂直于纸面向内，大小为

$dM=dP_m\times B=\pi\omega\sigma r^3drB$

对所有的圆环的磁力矩进行积分，得到整个圆盘受到的磁力矩大小

$M=\int_{ }^{ }dM=\pi\omega\sigma B\int_0^Rr^3dr=\frac{\pi\sigma\omega R^4B}{4}$

证毕.