31.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ^2), 0lt xlt pi , 0, .-|||-求 =sin X 的概率密度.

步骤 1：确定 $Y=\sin X$ 的取值范围
由于 $X$ 的取值范围是 $(0, \pi)$，而 $\sin X$ 在这个区间内取值范围是 $(0, 1)$，因此 $Y$ 的取值范围是 $(0, 1)$。

步骤 2：计算 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\sin X \leq y)$
由于 $\sin X$ 在 $(0, \pi)$ 内是单调递增的，因此 $P(\sin X \leq y)$ 可以转化为 $P(X \leq \arcsin y)$。
$F_Y(y) = P(X \leq \arcsin y)$
$= \int_{0}^{\arcsin y} f(x) dx$
$= \int_{0}^{\arcsin y} \frac{2x}{\pi^2} dx$
$= \frac{1}{\pi^2} \int_{0}^{\arcsin y} 2x dx$
$= \frac{1}{\pi^2} \left[ x^2 \right]_{0}^{\arcsin y}$
$= \frac{1}{\pi^2} (\arcsin y)^2$

步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)$
$= \frac{d}{dy} \frac{1}{\pi^2} (\arcsin y)^2$
$= \frac{2}{\pi^2} (\arcsin y) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$
$= \frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}}$