题目
个y-|||-D-|||-C-|||-P-|||-A B-|||-x如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′．①求出P′的坐标；②判断P′是否在该抛物线上．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′．
①求出P′的坐标；
②判断P′是否在该抛物线上．
题目解答
答案
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，代入y=ax2+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x2-2x+3，
∵-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），D（-1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，
代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式：y=2x+6，
∵P在直线AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=$\frac{1}{2}$•PE•yp
yP=$\frac{1}{2}$•（-x）•（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1），当x=-$\frac{-3}{2×（-1）}$=-$\frac{3}{2}$时，S取最大值$\frac{9}{4}$；
（3）①设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-$\frac{3}{2}$，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=$\frac{3}{2}$，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．在Rt△P′EN中，
∵（3-m）2+（$\frac{3}{2}$）2=m2，
∴m=$\frac{15}{8}$．
∵S△P′EN=$\frac{1}{2}$•P′N•P′E=$\frac{1}{2}$•EN•P′M，
∴P′M=$\frac{9}{10}$．
在Rt△EMP′中，∵EM=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{9}{10}）}$=$\frac{6}{5}$，
∴OM=EO-EM=$\frac{9}{5}$，∴P′（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）．
②当x=$\frac{9}{10}$时，y=-（$\frac{9}{10}$）2-2×$\frac{9}{10}$+3=$\frac{39}{100}$≠$\frac{9}{5}$，
∴点P′不在该抛物线上．
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x2-2x+3，
∵-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），D（-1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，
代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式：y=2x+6，
∵P在直线AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=$\frac{1}{2}$•PE•yp
yP=$\frac{1}{2}$•（-x）•（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1），当x=-$\frac{-3}{2×（-1）}$=-$\frac{3}{2}$时，S取最大值$\frac{9}{4}$；
（3）①设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-$\frac{3}{2}$，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=$\frac{3}{2}$，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．在Rt△P′EN中，
∵（3-m）2+（$\frac{3}{2}$）2=m2，
∴m=$\frac{15}{8}$．
∵S△P′EN=$\frac{1}{2}$•P′N•P′E=$\frac{1}{2}$•EN•P′M，
∴P′M=$\frac{9}{10}$．
在Rt△EMP′中，∵EM=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{9}{10}）}$=$\frac{6}{5}$，
∴OM=EO-EM=$\frac{9}{5}$，∴P′（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）．
②当x=$\frac{9}{10}$时，y=-（$\frac{9}{10}$）2-2×$\frac{9}{10}$+3=$\frac{39}{100}$≠$\frac{9}{5}$，
∴点P′不在该抛物线上．
解析
步骤 1：求抛物线的函数解析式
根据题目中给出的点A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3），代入抛物线方程y=ax^{2}+bx+c，可以得到一个方程组，解这个方程组可以得到a、b、c的值，从而得到抛物线的函数解析式。
步骤 2：求顶点D的坐标
根据抛物线的函数解析式，可以求出顶点D的坐标。
步骤 3：求△PAE的面积S与x之间的函数关系式
根据点P的坐标（x，y），可以求出△PAE的面积S与x之间的函数关系式，同时给出自变量x的取值范围。
步骤 4：求S的最大值
根据S与x之间的函数关系式，可以求出S的最大值。
步骤 5：求P′的坐标
根据S取到最大值时的点P的坐标，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，可以求出P′的坐标。
步骤 6：判断P′是否在该抛物线上
根据P′的坐标，代入抛物线的函数解析式，可以判断P′是否在该抛物线上。
根据题目中给出的点A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3），代入抛物线方程y=ax^{2}+bx+c，可以得到一个方程组，解这个方程组可以得到a、b、c的值，从而得到抛物线的函数解析式。
步骤 2：求顶点D的坐标
根据抛物线的函数解析式，可以求出顶点D的坐标。
步骤 3：求△PAE的面积S与x之间的函数关系式
根据点P的坐标（x，y），可以求出△PAE的面积S与x之间的函数关系式，同时给出自变量x的取值范围。
步骤 4：求S的最大值
根据S与x之间的函数关系式，可以求出S的最大值。
步骤 5：求P′的坐标
根据S取到最大值时的点P的坐标，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，可以求出P′的坐标。
步骤 6：判断P′是否在该抛物线上
根据P′的坐标，代入抛物线的函数解析式，可以判断P′是否在该抛物线上。