题目
1、设矩阵A=}1&1&2&2&10&2&1&5&-12&0&3&-1&31&1&0&4&-1求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并将其余列向量用最大无关组线性表示.
1、设矩阵
$A=\begin{pmatrix}1&1&2&2&1\\0&2&1&5&-1\\2&0&3&-1&3\\1&1&0&4&-1\end{pmatrix}$
求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并将其余列向量用最大无关组线性表示.
题目解答
答案
对矩阵 $A$ 进行初等行变换化为行最简形：
\[
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形知，秩 $R(A) = 3$，前三个列向量 $a_1, a_2, a_3$ 构成最大无关组。其余列向量表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{最大无关组：} & a_1, a_2, a_3 \\
\text{线性表示：} & a_4 = a_1 + 3a_2 - a_3, \quad a_5 = -a_2 + a_3
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：将矩阵 $A$ 化为行最简形
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形，以便于观察矩阵的秩和列向量组的最大无关组。
步骤 2：确定矩阵的秩和最大无关组
根据行最简形矩阵，确定矩阵的秩 $R(A)$，并找出列向量组的最大无关组。
步骤 3：用最大无关组表示其余列向量
根据行最简形矩阵，用最大无关组表示其余列向量。
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形，以便于观察矩阵的秩和列向量组的最大无关组。
步骤 2：确定矩阵的秩和最大无关组
根据行最简形矩阵，确定矩阵的秩 $R(A)$，并找出列向量组的最大无关组。
步骤 3：用最大无关组表示其余列向量
根据行最简形矩阵，用最大无关组表示其余列向量。