求下列极限:-|||-lim _(xarrow 0)(x)^2(e)^dfrac (1{{x)^2}}

考查要点：本题主要考查未定式极限的求解方法，特别是0·∞型未定式的处理技巧，以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：
将原式转化为适用洛必达法则的形式（如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型），通过求导简化极限计算。关键在于灵活构造分式，并分析指数函数与多项式函数的增长性差异。

破题关键点：

1. 识别极限形式为$0 \cdot \infty$型未定式；
2. 将原式改写为$\frac{x^2}{e^{-1/x^2}}$，形成$\frac{0}{0}$型未定式；
3. 应用洛必达法则后，观察到指数函数的增长速度远超多项式函数的衰减速度，从而快速判断极限趋势。

步骤1：构造适用洛必达法则的分式
原式为$\lim_{x \to 0} x^2 e^{1/x^2}$，当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，而$e^{1/x^2} \to +\infty$，属于$0 \cdot \infty$型未定式。将其改写为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^{-1/x^2}}.$
此时分子$x^2 \to 0$，分母$e^{-1/x^2} \to 0$，形成$\frac{0}{0}$型未定式。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$；
• 分母导数：$\frac{d}{dx}\left(e^{-1/x^2}\right) = e^{-1/x^2} \cdot \frac{2}{x^3}$（链式法则）。

代入洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\frac{2}{x^3} e^{-1/x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot x^3}{2 e^{-1/x^2}} = \lim_{x \to 0} x^4 e^{1/x^2}.$

步骤3：分析简化后的极限
新的极限$\lim_{x \to 0} x^4 e^{1/x^2}$仍为$0 \cdot \infty$型。通过变量替换$t = 1/x^2$（当$x \to 0$时，$t \to +\infty$），原式变为：
$\lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t^2}.$
由于指数函数$e^t$的增长速度远快于多项式$t^2$，故极限为$+\infty$。