2【判断题】 判断：定义在(-∞,+∞)的函数项级数sum_(n=0)^inftyx^n=1+x+x^2+...+x^n+...是收敛的.（）A. 对B. 错

本题考查函数项级数收敛性的判断，解题思路是先求出函数项级数的收敛半径，再根据收敛半径确定收敛区间，最后判断在给定区间$(-\infty, +\infty)$上的收敛性。

1. 求函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$的收敛半径$R$：
   对于幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$（本题中$a_{n}=1$），其收敛半径$R$的计算公式为$R=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}|$。
   将$a_{n}=1$，$a_{n + 1}=1$代入公式可得：
   $R=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{1}{1}| = 1$
2. 确定函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$的收敛区间：
   根据收敛半径$R = 1$，可知该幂级数在$(-1, 1)$内绝对收敛。
   接下来需要判断端点处的收敛性：
   • 当$x = 1$时，级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty}1^{n}=1 + 1 + 1 + \cdots + 1 + \cdots$，这是一个常数项级数，其部分和$S_{n}=n + 1$，当$n \to \infty$时，$S_{n} \to \infty$，所以该级数发散。
   • 当$x = -1$时，级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}=1 - 1 + 1 - 1 + \cdots + (-1)^{n} + \cdots$，其部分和$S_{n}$为：
     当$n$为偶数时，$S_{n}=0$；当$n$为奇数时，$S_{n}=1$。
     所以$\lim\limits_{n \to \infty}S_{n}$不存在，该级数发散。
     综上，函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$的收敛区间为$(-1, 1)$。
3. 判断函数项级数在$(-\infty, +\infty)$上的收敛性：
   由于收敛区间为$(-1, 1)$，而给定区间为$(-\infty, +\infty)$，显然在$(-\infty, -1]\cup[1, +\infty)$上该级数是发散的，所以定义在$(-\infty, +\infty)$的函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$不是收敛的。