(5)若 dfrac (ln x)(x) 为f(x)的一个原函数,则 int xf'(x)dx= __

步骤 1：确定f(x)的表达式
已知 $\dfrac {\ln x}{x}$ 是f(x)的一个原函数，即 $\int f(x)dx = \dfrac {\ln x}{x} + C$。因此，f(x)是 $\dfrac {\ln x}{x}$ 的导数。我们计算 $\dfrac {\ln x}{x}$ 的导数：
$$
f(x) = \left(\dfrac {\ln x}{x}\right)' = \dfrac {1-\ln x}{x^2}
$$
步骤 2：应用分部积分法
根据分部积分法，$\int xf'(x)dx = xf(x) - \int f(x)dx$。我们已经知道f(x)的表达式，现在计算 $\int f(x)dx$：
$$
\int f(x)dx = \int \dfrac {1-\ln x}{x^2} dx
$$
步骤 3：计算 $\int f(x)dx$
我们分两部分计算积分：
$$
\int \dfrac {1-\ln x}{x^2} dx = \int \dfrac {1}{x^2} dx - \int \dfrac {\ln x}{x^2} dx
$$
第一部分：
$$
\int \dfrac {1}{x^2} dx = -\dfrac {1}{x} + C_1
$$
第二部分，使用分部积分法：
$$
\int \dfrac {\ln x}{x^2} dx = -\dfrac {\ln x}{x} + \int \dfrac {1}{x^2} dx = -\dfrac {\ln x}{x} - \dfrac {1}{x} + C_2
$$
因此：
$$
\int f(x)dx = -\dfrac {1}{x} + \dfrac {\ln x}{x} + \dfrac {1}{x} + C = \dfrac {\ln x}{x} + C
$$
步骤 4：计算 $\int xf'(x)dx$
根据分部积分法：
$$
\int xf'(x)dx = xf(x) - \int f(x)dx = x \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2} - \dfrac {\ln x}{x} + C
$$
化简：
$$
\int xf'(x)dx = \dfrac {1-\ln x}{x} - \dfrac {\ln x}{x} + C = \dfrac {1}{x} - \dfrac {2\ln x}{x} + C
$$