题目
17、计算定积分: (int )_(1)^2dfrac ({e)^1|x}({x)^2}dx (10分)-|||-B I U x^2 x2 段落格式 字号
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分变量和积分区间
题目要求计算定积分 ${\int }_{1}^{2}\dfrac {{e}^{1/x}}{{x}^{2}}dx$，积分区间为 $[1, 2]$。
步骤 2：使用换元法
设 $u = \dfrac{1}{x}$，则 $du = -\dfrac{1}{x^2}dx$。当 $x = 1$ 时，$u = 1$；当 $x = 2$ 时，$u = \dfrac{1}{2}$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{1}^{2}\dfrac {{e}^{1/x}}{{x}^{2}}dx = -{\int }_{1}^{1/2}e^u du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $-{\int }_{1}^{1/2}e^u du$，得到：
$-{\int }_{1}^{1/2}e^u du = -[e^u]_{1}^{1/2} = -(e^{1/2} - e^1) = e - \sqrt{e}$。
题目要求计算定积分 ${\int }_{1}^{2}\dfrac {{e}^{1/x}}{{x}^{2}}dx$，积分区间为 $[1, 2]$。
步骤 2：使用换元法
设 $u = \dfrac{1}{x}$，则 $du = -\dfrac{1}{x^2}dx$。当 $x = 1$ 时，$u = 1$；当 $x = 2$ 时，$u = \dfrac{1}{2}$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{1}^{2}\dfrac {{e}^{1/x}}{{x}^{2}}dx = -{\int }_{1}^{1/2}e^u du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $-{\int }_{1}^{1/2}e^u du$，得到：
$-{\int }_{1}^{1/2}e^u du = -[e^u]_{1}^{1/2} = -(e^{1/2} - e^1) = e - \sqrt{e}$。