点(1,3)为曲线y=ax^3+bx^2的拐点,a b为何值 A. a=-3div 2,b=9div 2 B. a=-2,b=5C. a=1,b=-3D. a=-1,b=3

本题考查曲线拐点的相关知识。解题的关键思路是先求出曲线的二阶导数，因为拐点处二阶导数为零，再结合已知的拐点坐标列出方程组，进而求解出$a$和$b$的值。

1. 求曲线$y = ax^3 + bx^2$的一阶导数$y'$：
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$y = ax^3 + bx^2$求导可得：
   $y^\prime=(ax^3 + bx^2)^\prime=(ax^3)^\prime+(bx^2)^\prime=3ax^2 + 2bx$
2. 求曲线$y = ax^3 + bx^2$的二阶导数$y''$：
   对$y^\prime=3ax^2 + 2bx$再次求导，可得：
   $y^{\prime\prime}=(3ax^2 + 2bx)^\prime=(3ax^2)^\prime+(2bx)^\prime=6ax + 2b$
3. 利用拐点处二阶导数为零的性质：
   因为点$(1,3)$是曲线的拐点，所以在$x = 1$处二阶导数$y'' = 0$，将$x = 1$代入$y^{\prime\prime}=6ax + 2b$可得：
   $6a\times1 + 2b = 0$，即$6a + 2b = 0$，化简为$3a + b = 0$ ①
4. 利用拐点在曲线上的性质：
   因为点$(1,3)$在曲线$y = ax^3 + bx^2$上，所以将$x = 1$，$y = 3$代入曲线方程可得：
   $a\times1^3 + b\times1^2 = 3$，即$a + b = 3$ ②
5. 联立方程求解$a$和$b$的值：
   用①式减去②式消去$b$可得：
   $(3a + b)-(a + b)=0 - 3$
   $3a + b - a - b = -3$
   $2a = -3$
   解得$a = -\frac{3}{2}$
   将$a = -\frac{3}{2}$代入②式可得：
   $-\frac{3}{2} + b = 3$
   $b = 3 + \frac{3}{2}=\frac{6}{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$