题目
已知某平面过点(1,0,-1)，且平行于向量overrightarrow(a)=(2,1,1)和overrightarrow(b)=(1,-1,0)，试求该平面的方程.
已知某平面过点(1,0,-1)，且平行于向量$\overrightarrow{a}=\left(2,1,1\right)$和$\overrightarrow{b}=\left(1,-1,0\right)$，试求该平面的方程.
题目解答
答案
【答案】
$x+y-3z-4=0$
【解析】
设$\overrightarrow n=(m,n,p)$满足$\overrightarrow n\bot \overrightarrow a$且$\overrightarrow n\bot \overrightarrow b$, 则$\overrightarrow n$垂直于该平面,
$\therefore \begin{cases}2m+n+p=0 \\ m-n=0\end{cases}$, 得$m=n=-\frac p3$,
令$p=3$, 则$\overrightarrow n=(-1,-1,3)$,
记点$O(1,0,-1)$,设点$C(x,y,z)$为该平面上任意一点,
则$\overrightarrow{OC}\bot\overrightarrow n$, $\overrightarrow{OC}=(x-1,y,z+1)$,
$\therefore \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow n=-x+1-y+3z+3=0$
即$x+y-3z-4=0$,
故平面方程为$x+y-3z-4=0$
解析
步骤 1：确定平面法向量
设平面的法向量为$\overrightarrow{n}=(m,n,p)$，由于平面平行于向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{n}$垂直于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=0$且$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{b}=0$。根据点积的定义，我们有：
$$
\begin{cases}
2m+n+p=0 \\
m-n=0
\end{cases}
$$
步骤 2：求解法向量
解上述方程组，得到$m=n=-\frac{p}{3}$。为了方便，我们取$p=3$，则$m=n=-1$，因此法向量$\overrightarrow{n}=(-1,-1,3)$。
步骤 3：确定平面方程
设点$O(1,0,-1)$，点$C(x,y,z)$为该平面上任意一点，则$\overrightarrow{OC}=(x-1,y,z+1)$。由于$\overrightarrow{OC}$垂直于$\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{n}=0$，即：
$$
-x+1-y+3z+3=0
$$
化简得到平面方程为$x+y-3z-4=0$。
设平面的法向量为$\overrightarrow{n}=(m,n,p)$，由于平面平行于向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{n}$垂直于$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=0$且$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{b}=0$。根据点积的定义，我们有：
$$
\begin{cases}
2m+n+p=0 \\
m-n=0
\end{cases}
$$
步骤 2：求解法向量
解上述方程组，得到$m=n=-\frac{p}{3}$。为了方便，我们取$p=3$，则$m=n=-1$，因此法向量$\overrightarrow{n}=(-1,-1,3)$。
步骤 3：确定平面方程
设点$O(1,0,-1)$，点$C(x,y,z)$为该平面上任意一点，则$\overrightarrow{OC}=(x-1,y,z+1)$。由于$\overrightarrow{OC}$垂直于$\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{n}=0$，即：
$$
-x+1-y+3z+3=0
$$
化简得到平面方程为$x+y-3z-4=0$。