https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b21bdd24ff1660ffcda30901d52b1ff1.jpg-29 在无风的下雨天,一列火车以 _(1)=20.0mcdot (s)^-1 的速度匀速前进,车内的旅客看-|||-见玻璃窗外的雨滴和竖直线成75°角下降.求雨滴下落的速度v2·(设下降的雨滴作匀-|||-速运动.)

本题考查相对运动中速度的合成与分解，关键是明确旅客看到的雨滴速度是雨滴相对于火车的速度，需通过伽利略速度变换和几何关系求解。

步骤1：明确速度关系

无风时，雨滴只做竖直向下的匀速运动，速度为$\vec{v}_2$（竖直向下）；火车匀速前进，速度为$\vec{v}_1 = 20.0 \, \text{m/s}$（水平向前）。
旅客看到的雨滴速度是雨滴相对于火车的速度$\vec{v}_{21}$，根据伽利略速度变换：
$\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$
（$\vec{v}_1$是火车相对于地面的速度，故$\vec{v}_2 - \vec{v}_1$表示雨滴相对于火车的速度）。

步骤2：速度的矢量合成

$\vec{v}_{21}$是$\vec{v}_2$（竖直向下）与$-\vec{v}_1$（水平向后，因火车向前）的合速度，方向与竖直线成$75^\circ$角（旅客看到雨滴斜向后下落）。
三者构成直角三角形：

• 对边：$|\vec{v}_1| = 20.0 \, \text{m/s}$（水平向后）
• 邻边：$|\vec{v}_2|$（竖直向下）
• 合速度$|\vec{v}_{21}|$为斜边

步骤3：利用三角函数求解

根据正切函数定义：
$\tan\theta = \frac{|\vec{v}_1|}{|\vec{v}_2|}$
其中$\theta = 75^\circ$，代入数据：
$\tan75^\circ = \frac{20.0}{v_2}$

步骤4：计算$v_2$

$\tan75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan45^\circ + \tan30^\circ}{1 - \tan45^\circ\tan30^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$
则：
$v_2 = \frac{20.0}{\tan75^\circ} \approx \frac{20.0}{3.732} \approx 5.36 \, \text{m/s}$