题目
30.求内接于半径为2的球且有最大体积的长方体的体积为( ) A. dfrac (64)(3sqrt {3)} B. dfrac (64)(3sqrt {3)} C. dfrac (64)(3sqrt {3)} D. dfrac (64)(3sqrt {3)}
30.求内接于半径为2的球且有最大体积的长方体的体积为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
答案选A .
由题意知,设长方体取最大体积时的棱长均为
,
则 
，
,
所以该长方体最大体积为 
.
故答案选A .
解析
步骤 1：确定长方体的对角线长度
长方体的对角线长度等于球的直径，即 $2r=4$，其中 $r$ 是球的半径。
步骤 2：设长方体的棱长
设长方体的棱长分别为 $a$、$b$、$c$，则长方体的对角线长度为 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。根据步骤 1，我们有 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=4$。
步骤 3：求长方体体积的最大值
长方体的体积 $V=abc$。为了求出体积的最大值，我们使用拉格朗日乘数法。设 $f(a,b,c)=abc$，$g(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-16$。构造拉格朗日函数 $L(a,b,c,\lambda)=abc+\lambda(a^2+b^2+c^2-16)$。对 $a$、$b$、$c$、$\lambda$ 求偏导数并令其等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
bc+2\lambda a=0 \\
ac+2\lambda b=0 \\
ab+2\lambda c=0 \\
a^2+b^2+c^2=16
\end{cases}
$$
解这个方程组，得到 $a=b=c=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。因此，长方体的体积为 $V=abc=\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^3=\dfrac{64}{3\sqrt{3}}$。
长方体的对角线长度等于球的直径，即 $2r=4$，其中 $r$ 是球的半径。
步骤 2：设长方体的棱长
设长方体的棱长分别为 $a$、$b$、$c$，则长方体的对角线长度为 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。根据步骤 1，我们有 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=4$。
步骤 3：求长方体体积的最大值
长方体的体积 $V=abc$。为了求出体积的最大值，我们使用拉格朗日乘数法。设 $f(a,b,c)=abc$，$g(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-16$。构造拉格朗日函数 $L(a,b,c,\lambda)=abc+\lambda(a^2+b^2+c^2-16)$。对 $a$、$b$、$c$、$\lambda$ 求偏导数并令其等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
bc+2\lambda a=0 \\
ac+2\lambda b=0 \\
ab+2\lambda c=0 \\
a^2+b^2+c^2=16
\end{cases}
$$
解这个方程组，得到 $a=b=c=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。因此，长方体的体积为 $V=abc=\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^3=\dfrac{64}{3\sqrt{3}}$。