例3 设椭圆 :dfrac ({x)^2}({a)^2}+dfrac ({y)^2}({b)^2}=1(agt bgt 0) 的左、-|||-右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,-|||-(F)_(2)bot (F)_(1)(F)_(2) angle P(F)_(1)(F)_(2)=(30)^circ ,则椭圆C的离-|||-心率为 __ .-|||-延伸探究1 若将本例中" (F)_(2)bot (F)_(1)(F)_(2),-|||-angle P(F)_(1)(F)_(2)=(30)^circ "改为" angle P(F)_(2)(F)_(1)=(75)^circ angle P(F)_(1)(F)_(2)-|||-=(45)^circ ,求椭圆C的离心率.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查椭圆的离心率计算，涉及三角形中的正弦定理应用及角度关系的处理。
解题核心思路：
- 确定三角形内角：利用三角形内角和为$180^\circ$，求出第三个角$\angle F_1PF_2$。
- 应用正弦定理：在$\triangle PF_1F_2$中，建立边与角的正弦关系，结合椭圆定义$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，联立方程求解离心率$e = \dfrac{c}{a}$。
- 三角恒等式化简：通过角度拆分和代数运算，将结果化简为最简形式。
破题关键点：
- 角度关系：正确计算$\angle F_1PF_2 = 60^\circ$。
- 正弦定理的灵活应用：将边长与角度关联，结合椭圆定义建立方程。
- 分母有理化技巧：通过分子分母同乘共轭项，简化表达式。
步骤1：确定三角形内角
在$\triangle PF_1F_2$中，已知$\angle PF_2F_1 = 75^\circ$，$\angle PF_1F_2 = 45^\circ$，则第三个角为：
$\angle F_1PF_2 = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ.$
步骤2：应用正弦定理
设$|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，$|F_1F_2| = 2c$，根据正弦定理：
$\frac{m}{\sin 75^\circ} = \frac{n}{\sin 45^\circ} = \frac{2c}{\sin 60^\circ}.$
步骤3：结合椭圆定义
椭圆定义给出$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，即：
$m + n = 2a.$
步骤4：联立方程求离心率
由正弦定理得：
$m = \frac{2c \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}, \quad n = \frac{2c \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}.$
代入椭圆定义：
$\frac{2c \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} + \frac{2c \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = 2a.$
化简得：
$\frac{\sin 75^\circ + \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{c} \implies e = \frac{c}{a} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ + \sin 45^\circ}.$
步骤5：三角恒等式化简
计算各正弦值：
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
代入化简：
$e = \frac{\sqrt{3}/2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 + \sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{(\sqrt{6} + 3\sqrt{2})/4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}.$