题目
计算平面 6x+3y+2z=12在第一卦限中的一部分的面积。
计算平面
在第一卦限中的一部分的面积。
在第一卦限中的一部分的面积。题目解答
答案
平面和三个坐标轴的交点为
A(2，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，6)
，
，
根据已知三边求三角形面积公式
A(2，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，6)
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根据已知三边求三角形面积公式
解析
步骤 1：确定平面与坐标轴的交点
平面方程为 6x + 3y + 2z = 12。为了找到平面与坐标轴的交点，我们分别令 x, y, z 中的两个变量为 0，解出第三个变量。
- 当 x = 0, y = 0 时，2z = 12，解得 z = 6，所以平面与 z 轴的交点为 C(0, 0, 6)。
- 当 x = 0, z = 0 时，3y = 12，解得 y = 4，所以平面与 y 轴的交点为 B(0, 4, 0)。
- 当 y = 0, z = 0 时，6x = 12，解得 x = 2，所以平面与 x 轴的交点为 A(2, 0, 0)。
步骤 2：计算三角形的边长
根据平面与坐标轴的交点，我们得到三角形 ABC 的三个顶点 A(2, 0, 0)，B(0, 4, 0)，C(0, 0, 6)。接下来，我们计算三角形的边长。
- AB 的长度为 $\sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
- BC 的长度为 $\sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
- AC 的长度为 $\sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 4\sqrt{5}$。
步骤 3：计算三角形的面积
根据已知三边求三角形面积的公式，即海伦公式，我们首先计算半周长 p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√5 + 2√13 + 4√5) / 2 = (√5 + √13 + 2√5) = (3√5 + √13)。然后，根据海伦公式 S = √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]，代入计算得到 S = √[(3√5 + √13)(3√5 + √13 - 2√5)(3√5 + √13 - 2√13)(3√5 + √13 - 4√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(-√13)(-√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√13)(√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = 16。
平面方程为 6x + 3y + 2z = 12。为了找到平面与坐标轴的交点，我们分别令 x, y, z 中的两个变量为 0，解出第三个变量。
- 当 x = 0, y = 0 时，2z = 12，解得 z = 6，所以平面与 z 轴的交点为 C(0, 0, 6)。
- 当 x = 0, z = 0 时，3y = 12，解得 y = 4，所以平面与 y 轴的交点为 B(0, 4, 0)。
- 当 y = 0, z = 0 时，6x = 12，解得 x = 2，所以平面与 x 轴的交点为 A(2, 0, 0)。
步骤 2：计算三角形的边长
根据平面与坐标轴的交点，我们得到三角形 ABC 的三个顶点 A(2, 0, 0)，B(0, 4, 0)，C(0, 0, 6)。接下来，我们计算三角形的边长。
- AB 的长度为 $\sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
- BC 的长度为 $\sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
- AC 的长度为 $\sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 4\sqrt{5}$。
步骤 3：计算三角形的面积
根据已知三边求三角形面积的公式，即海伦公式，我们首先计算半周长 p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√5 + 2√13 + 4√5) / 2 = (√5 + √13 + 2√5) = (3√5 + √13)。然后，根据海伦公式 S = √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]，代入计算得到 S = √[(3√5 + √13)(3√5 + √13 - 2√5)(3√5 + √13 - 2√13)(3√5 + √13 - 4√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(-√13)(-√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√13)(√5)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = √[(3√5 + √13)(√5 + √13)(√65)] = 16。