有3只球，4个盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立的、随机地放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如X=3表示第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球)，试求E(X)

关键思路：本题要求计算随机变量$X$的期望，其中$X$表示至少有一个球的最小盒子编号。解题的核心在于确定每个可能取值$k$的概率$P(X=k)$，再利用期望公式$E(X) = \sum_{k=1}^{4} k \cdot P(X=k)$求解。

破题关键：

1. 理解$X$的定义：$X=k$表示前$k-1$个盒子为空，第$k$个盒子至少有一个球。
2. 分类讨论：分别计算$P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)$。
3. 排除法计算概率：通过总情况数减去不符合条件的情况数，简化计算。

步骤1：计算总情况数

每只球有4种放法，总共有$4^3 = 64$种可能。

步骤2：计算$P(X=4)$

• 条件：所有球都在4号盒子。
• 情况数：仅1种（所有球均选4号盒）。
• 概率：$P(X=4) = \dfrac{1}{64}$。

步骤3：计算$P(X=3)$

• 条件：1、2号盒为空，3号盒至少有一个球。
• 总情况数：球只能放在3、4号盒，共$2^3 = 8$种。
• 排除情况：3号盒为空（即所有球在4号盒），共1种。
• 概率：$P(X=3) = \dfrac{2^3 - 1}{64} = \dfrac{7}{64}$。

步骤4：计算$P(X=2)$

• 条件：1号盒为空，2号盒至少有一个球。
• 总情况数：球只能放在2、3、4号盒，共$3^3 = 27$种。
• 排除情况：2号盒为空（即球放在3、4号盒），共$2^3 = 8$种。
• 概率：$P(X=2) = \dfrac{3^3 - 2^3}{64} = \dfrac{19}{64}$。

步骤5：计算$P(X=1)$

• 条件：1号盒至少有一个球。
• 概率：总情况数减去其他情况，$P(X=1) = 1 - \left( P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \right) = \dfrac{37}{64}$。

步骤6：计算期望$E(X)$

$E(X) = 1 \cdot \dfrac{37}{64} + 2 \cdot \dfrac{19}{64} + 3 \cdot \dfrac{7}{64} + 4 \cdot \dfrac{1}{64} = \dfrac{25}{16}.$