(16)已知A,B均为3阶矩阵，|A|=0,且满足AB+3B=O,若r(B)=2,则行列式|A+2E|=____.

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、特征值、行列式的性质，以及矩阵方程的变形与应用。

解题核心思路：

1. 矩阵方程变形：将已知条件$AB + 3B = O$转化为$AB = -3B$，发现$B$的列向量是$A$的特征向量。
2. 秩的性质：利用$r(B) = 2$确定$B$的列空间中存在两个线性无关的特征向量，对应$A$的特征值$-3$。
3. 行列式与特征值的关系：结合$|A| = 0$确定$A$的第三个特征值为$0$，进而求出$A + 2E$的特征值及其乘积。

破题关键点：

• 特征值的提取：通过矩阵方程$AB = -3B$，直接得出$B$的列向量是$A$的特征向量，对应特征值$-3$。
• 秩与特征向量的关系：$r(B) = 2$说明存在两个线性无关的特征向量，对应两个$-3$的特征值。
• 行列式的性质：利用行列式为特征值的乘积，结合$|A| = 0$确定第三个特征值为$0$。

步骤1：变形矩阵方程
由$AB + 3B = O$，移项得$AB = -3B$，即$A$作用在$B$的列向量上时，结果为对应列向量的$-3$倍。

步骤2：分析$B$的列向量
由于$r(B) = 2$，设$B$的列向量为$b_1, b_2, b_3$，其中$b_1, b_2$线性无关。根据$AB = -3B$，有：
$A b_1 = -3 b_1, \quad A b_2 = -3 b_2, \quad A b_3 = -3 b_3$
因此，$b_1, b_2$是$A$的特征向量，对应特征值$\lambda = -3$。

步骤3：确定$A$的特征值

• $A$的秩为2，说明$A$有两个特征值为$-3$。
• 由$|A| = 0$，行列式为特征值乘积，即$(-3) \cdot (-3) \cdot \lambda_3 = 0$，解得$\lambda_3 = 0$。

步骤4：计算$A + 2E$的特征值
$A + 2E$的特征值为原特征值加$2$，即：
$-3 + 2 = -1, \quad -3 + 2 = -1, \quad 0 + 2 = 2$

步骤5：求行列式
行列式为特征值的乘积：
$|A + 2E| = (-1) \times (-1) \times 2 = 2$