1.划去矩阵A的某一行得到矩阵B,-|||-则矩阵A的秩等于矩阵B的秩的充分-|||-必要条件是所划去的行可用其余的行线性表示.

考查要点：本题主要考查矩阵秩的性质及行线性相关的概念，重点在于理解行的增减对矩阵秩的影响。

解题核心思路：

• 必要性：若划去某一行后秩不变，则该行必须属于原矩阵其他行的行空间，即能被其他行线性表示。
• 充分性：若该行可被其他行线性表示，则添加此行不会改变矩阵的秩，因此原矩阵与划去该行后的矩阵秩相等。

破题关键点：

• 秩的定义：矩阵的秩是极大线性无关行的个数。
• 行空间维度：若划去某行后秩不变，说明该行未增加原矩阵的行空间维度。

证明：

必要性（若 $r(A) = r(B)$，则划去的行可由其余行线性表示）

1. 秩相等的含义：
   设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，划去第 $k$ 行得到 $B$。若 $r(A) = r(B)$，则 $A$ 的行空间与 $B$ 的行空间维度相同。

2. 行空间关系：
   $B$ 的行空间是 $A$ 的行空间的子空间，且两者的维度相等，因此 $A$ 的行空间等于 $B$ 的行空间。

3. 结论：
   第 $k$ 行属于 $B$ 的行空间，即第 $k$ 行可由 $B$ 的行（即 $A$ 的其他行）线性表示。

充分性（若划去的行可由其余行线性表示，则 $r(A) = r(B)$）

1. 行线性相关性：
   若第 $k$ 行可由 $A$ 的其他行线性表示，则第 $k$ 行在 $A$ 中是线性相关的。

2. 秩的不变性：
   添加线性相关的行不会改变矩阵的秩，因此 $r(A) = r(B)$。