题目

设球面Sigma: x^2 + y^2 + z^2 = 1，取外侧。D: x^2 + y^2 leq 1为xOy平面上的区域，则iint_(Sigma) x^2 y^2 z , dx , dy = ()。A. iint_(D) x^2 y^2 sqrt(1 - x^2) - y^(2) , dx , dy；B. 2 iint_(D) x^2 y^2 sqrt(1 - x^2) - y^(2) , dx , dy；C. 0；D. -2 iint_(D) x^2 y^2 sqrt(1 - x^2) - y^(2) , dx , dy。

设球面$\Sigma: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$，取外侧。$D: x^{2} + y^{2} \leq 1$为$xOy$平面上的区域，则$\iint_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \, dx \, dy = ()$。

A. $\iint_{D} x^{2} y^{2} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \, dx \, dy$；

B. $2 \iint_{D} x^{2} y^{2} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \, dx \, dy$；

C. 0；

D. $-2 \iint_{D} x^{2} y^{2} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \, dx \, dy$。

题目解答

答案

被积函数 $x^2y^2z$ 中，$z$ 是关于 $z$ 的奇函数，而球面 $\Sigma$ 关于 $xy$-平面、$yz$-平面和 $xz$-平面均对称。由于奇函数在对称区间上的积分为零，无论将球面分为上半球和下半球，还是使用球坐标系计算，积分结果均为零。 因此，正确答案为 $\boxed{C}$。

解析

本题考查利用对称性计算曲面积分的知识。解题思路是先判断被积函数关于某个变量的奇偶性，再结合积分区域的对称性来确定积分结果。

  1. 首先判断被积函数 $f(x,y,z)=x^{2}y^{2}z$ 关于 $z$ 的奇偶性：
    对于函数 $f(x,y,z)$，若 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则函数 $f(x,y,z)$ 关于 $z$ 是奇函数。
    计算 $f(x,y,-z)=x^{2}y^{2}(-z)=-x^{2}y^{2}z=-f(x,y,z)$，所以被积函数 $f(x,y,z)=x^{2}y^{2}z$ 关于 $z$ 是奇函数。
  2. 然后分析积分区域 $\Sigma: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的对称性：
    积分区域 $\Sigma$ 关于 $xy$ -平面、$yz$ -平面和 $xz$ -平面均对称。
  3. 最后根据对称性确定积分结果：
    由于被积函数关于 $z$ 是奇函数，且积分区域 $\Sigma$ 关于 $xy$ -平面、$yz$ -平面和 $xz$ -平面均对称，根据奇函数在对称区间上的积分为零的性质，可得 $\iint_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \, dx \, dy = 0$。