(1)已知平面区域 = (x,y)|sqrt {1-{y)^2}leqslant xleqslant 1,-1leqslant yleqslant 1} .计算 int dfrac (x)(sqrt {{x)^2+(y)^2}}dxdy-|||-.(sqrt (2)-2+ln (1+sqrt (2)))-|||-(2)设平面有界区域D位干第一象阻 小小u 1 1

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及直角坐标系下的积分顺序调整、变量替换以及对数积分的处理。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：区域$D$由$x$的范围$\sqrt{1-y^2} \leq x \leq 1$和$y$的范围$-1 \leq y \leq 1$构成，对应右半圆$x \geq \sqrt{1-y^2}$右侧到$x=1$的部分。
2. 对$x$积分：通过变量替换$u = x^2 + y^2$，将积分转化为$\sqrt{x^2 + y^2}$的表达式。
3. 对$y$积分：拆分为$\int \sqrt{1+y^2} \, dy$和$\int 1 \, dy$，利用分部积分或公式计算，特别注意对数项的化简。

破题关键点：

• 变量替换简化积分：对$x$积分时，利用$u = x^2 + y^2$简化计算。
• 对数项的代数变形：利用$\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$简化对数表达式。

步骤1：确定积分区域与积分顺序

区域$D$由$x$从$\sqrt{1-y^2}$到$1$，$y$从$-1$到$1$，对应右半圆$x \geq \sqrt{1-y^2}$右侧到$x=1$的区域。积分顺序为先$x$后$y$。

步骤2：对$x$积分

计算内部积分：
$\int_{\sqrt{1-y^2}}^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx$
令$u = x^2 + y^2$，则$du = 2x \, dx$，积分变为：
$\frac{1}{2} \int_{u=(1-y^2)+y^2}^{u=1+y^2} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \left. \sqrt{u} \right|_{u=1}^{u=1+y^2} = \sqrt{1+y^2} - 1$

步骤3：对$y$积分

原积分转化为：
$\int_{-1}^1 \left( \sqrt{1+y^2} - 1 \right) dy$
拆分为两部分：

1. 计算$\int_{-1}^1 \sqrt{1+y^2} \, dy$
   利用公式$\int \sqrt{a^2 + y^2} \, dy = \frac{y}{2}\sqrt{a^2 + y^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left( y + \sqrt{a^2 + y^2} \right)$，代入$a=1$：
   $\left. \left( \frac{y}{2}\sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2} \ln \left( y + \sqrt{1+y^2} \right) \right) \right|_{-1}^1$
   代入上下限：

   • 上限$y=1$：$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (1+\sqrt{2})$
   • 下限$y=-1$：$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (\sqrt{2}-1)$

   注意到$\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$，故$\ln(\sqrt{2}-1) = -\ln(\sqrt{2}+1)$，最终结果为：
   $\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})$

2. 计算$\int_{-1}^1 1 \, dy$
   结果为$2$。

步骤4：合并结果

最终积分结果为：
$\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - 2$