42、设n元齐次线性方程组Ax=0的通解为k=(1,1,L,1)^T则矩阵A的秩（）A. r(A)=1B. r(A)=n-1C. r(A)=nD. A的每行元素之和都不等于零

本题考查齐次线性方程组通解与矩阵秩的关系。解题的关键在于理解齐次线性方程组解空间的维数与系数矩阵秩之间的联系，通过已知的通解确定解空间的维数，进而求出矩阵$A$的秩。

步骤一：明确齐次线性方程组解空间维数与矩阵秩的关系

对于$n$元齐次线性方程组$Ax = 0$，设其系数矩阵$A$的秩为$r(A)$，解空间的维数为$s$，根据线性代数的基本定理，有$s=n - r(A)$。

步骤二：根据通解确定解空间的维数

已知$n$元齐次线性方程组$Ax = 0$的通解为$x = k(1,1,\cdots,1)^T$，这表明该方程组的解空间是由向量$\xi=(1,1,\cdots,1)^T$张成的一维子空间，所以解空间的维数$s = 1$。

步骤三：计算矩阵$A$的秩

将$s = 1$代入$s=n - r(A)$，可得$1=n - r(A)$，移项可得$r(A)=n - 1$。

步骤四：分析选项D

对于选项D，因为$Ax = 0$的通解为$x = k(1,1,\cdots,1)^T$，说明$A\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=0$，设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，则$\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}=0$，$i = 1,2,\cdots,m$，这表明$A$的每行元素之和都等于零，所以选项D错误。