题目
设矩阵 A=[0 & 0 & 1 2 & 1 & 0 -1 & 1 & -1]，B 是三阶矩阵，且 AB=0，则矩阵 B 的秩为（）A. 2B. 1C. 0D. 3
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right]$，$B$ 是三阶矩阵，且 $AB=0$，则矩阵 $B$ 的秩为（）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
题目解答
答案
C. 0
解析
步骤 1：计算矩阵 $A$ 的行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式，以确定其是否可逆。矩阵 $A$ 的行列式为：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 + (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 3. \]
步骤 2：确定矩阵 $A$ 的秩
由于矩阵 $A$ 的行列式不为零，矩阵 $A$ 是可逆的，因此矩阵 $A$ 的秩为 3。
步骤 3：利用秩的性质确定矩阵 $B$ 的秩
由 $AB = 0$，利用秩的性质 $R(A) + R(B) \leq 3$，得：
\[ 3 + R(B) \leq 3 \implies R(B) \leq 0. \]
由于秩非负，故 $R(B) = 0$。
计算矩阵 $A$ 的行列式，以确定其是否可逆。矩阵 $A$ 的行列式为：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 + (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 3. \]
步骤 2：确定矩阵 $A$ 的秩
由于矩阵 $A$ 的行列式不为零，矩阵 $A$ 是可逆的，因此矩阵 $A$ 的秩为 3。
步骤 3：利用秩的性质确定矩阵 $B$ 的秩
由 $AB = 0$，利用秩的性质 $R(A) + R(B) \leq 3$，得：
\[ 3 + R(B) \leq 3 \implies R(B) \leq 0. \]
由于秩非负，故 $R(B) = 0$。