题目

5.已知 P^3 中线性变换A在基 eta_(1)=(-1,1,1),eta_(2)=(1,0,-1),eta_(3)=(0,1,1)下的矩阵是}1&0&11&1&0-1&2&1,求A在基 varepsilon_(1)=(1,0,0),varepsilon_(2)=(0,1,0),varepsilon_(3)=(0,0,1)下的矩阵；

5.已知 $P^{3}$ 中线性变换A在基 $\eta_{1}=(-1,1,1),\eta_{2}=(1,0,-1),\eta_{3}=(0,1,1)$下的矩阵是 $\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$, 求A在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0),\varepsilon_{2}=(0,1,0),\varepsilon_{3}=(0,0,1)$下的矩阵；

题目解答

答案

设 $X = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，则 $X^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 利用公式 $A_{\varepsilon} = X^{-1} A_{\eta} X$，得： \[ A_{\varepsilon} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查线性变换在不同基下的矩阵表示的转换方法，涉及基变换矩阵的构造及相似变换的应用。

解题核心思路：

  1. 基变换矩阵的构造：由基$\eta$到标准基$\varepsilon$的过渡矩阵$X$，其列由基向量$\eta_1, \eta_2, \eta_3$在标准基下的坐标构成。
  2. 相似变换公式：利用公式$A_{\varepsilon} = X^{-1} A_{\eta} X$，通过已知的$A_{\eta}$和过渡矩阵$X$，计算出线性变换在标准基下的矩阵$A_{\varepsilon}$。

破题关键点：

  • 正确构造过渡矩阵$X$，确保列向量顺序与基$\eta$一致。
  • 准确计算$X^{-1}$，避免逆矩阵计算错误。
  • 矩阵乘法顺序：严格按照公式顺序进行乘法运算，避免顺序颠倒导致结果错误。

步骤1：构造过渡矩阵$X$

基$\eta$的向量在标准基$\varepsilon$下的坐标为：
$\eta_1 = (-1,1,1), \quad \eta_2 = (1,0,-1), \quad \eta_3 = (0,1,1)$
因此，过渡矩阵$X$为：
$X = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \\1 & -1 & 1\end{pmatrix}$

步骤2：计算$X^{-1}$

通过行列式法或初等行变换求逆矩阵，得：
$X^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 \\0 & 1 & -1 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

步骤3：应用相似变换公式

根据公式$A_{\varepsilon} = X^{-1} A_{\eta} X$，分步计算：

  1. 计算$X^{-1} A_{\eta}$：
    $X^{-1} A_{\eta} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

  2. 计算$(X^{-1} A_{\eta}) X$：
    $A_{\varepsilon} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$