要使直线 dfrac (x-a)(3)=dfrac (y)(-2)=dfrac (z+1)(a) 在平面 3x+4y-az=3a-1 内,则 a= __

考查要点：本题主要考查直线在平面内的条件，涉及方向向量与法向量垂直以及直线上点在平面内两个关键点。

解题思路：

1. 方向向量与平面法向量垂直：直线的方向向量与平面的法向量垂直，即它们的点积为0。
2. 直线上一点在平面内：直线上的某个特定点（如参数为0时的点）必须满足平面方程。

破题关键：

• 正确提取直线的方向向量和平面的法向量。
• 分别通过两个条件联立方程求解参数$a$，并验证解的合理性。

步骤1：确定方向向量与法向量

• 直线方程为$\dfrac{x-a}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{a}$，其方向向量为$\mathbf{s} = (3, -2, a)$。
• 平面方程为$3x + 4y - az = 3a - 1$，其法向量为$\mathbf{n} = (3, 4, -a)$。

步骤2：方向向量与法向量垂直

两向量点积为0：
$\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 4 + a \cdot (-a) = 9 - 8 - a^2 = 1 - a^2 = 0$
解得：
$a = \pm 1$

步骤3：直线上点在平面内

取直线上的点$(a, 0, -1)$（当参数为0时），代入平面方程：
$3a + 4 \cdot 0 - a \cdot (-1) = 3a - 1$
化简得：
$3a + a = 3a - 1 \quad \Rightarrow \quad 4a = 3a - 1 \quad \Rightarrow \quad a = -1$

步骤4：验证解的合理性

• 当$a = 1$时，代入平面方程验证：$3 \cdot 1 + 1 = 4 \neq 3 \cdot 1 - 1 = 2$，不成立。
• 当$a = -1$时，代入验证：$3 \cdot (-1) + (-1) = -4 = 3 \cdot (-1) - 1 = -4$，成立。

结论：唯一满足条件的解为$a = -1$。