3.（10.0分）已知vec(E)为x+y+z=1（第一卦限上侧），则iintlimits_(Sigma)(x+y+z)^2dxdz=

为了求解曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma}(x+y+z)^{2}dxdz$，其中 $\Sigma$ 是平面 $x + y + z = 1$ 在第一卦限的上侧，我们首先需要将曲面积分转换为二重积分。平面 $x + y + z = 1$ 可以表示为 $y = 1 - x - z$。曲面积分的公式为： \[ \iint\limits_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS = \iint\limits_{D} f(x, y(x, z), z) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2} \, dxdz \] 其中 $D$ 是 $xz$-平面上的投影区域。对于平面 $y = 1 - x - z$，我们有 $\frac{\partial y}{\partial x} = -1$ 和 $\frac{\partial y}{\partial z} = -1$。因此，曲面元素 $dS$ 为： \[ dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dxdz = \sqrt{3} \, dxdz \] 由于 $f(x, y, z) = (x + y + z)^2$，且在曲面上 $x + y + z = 1$，我们有 $f(x, y, z) = 1^2 = 1$。因此，曲面积分变为： \[ \iint\limits_{\Sigma} (x + y + z)^2 \, dS = \iint\limits_{D} 1 \cdot \sqrt{3} \, dxdz = \sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz \] 投影区域 $D$ 是 $xz$-平面上由 $x \geq 0$， $z \geq 0$，和 $x + z \leq 1$ 围成的三角形。这个三角形的面积为： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \] 因此，二重积分 $\iint\limits_{D} \, dxdz$ 等于三角形的面积，即 $\frac{1}{2}$。所以，曲面积分为： \[ \sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 最终答案是： \[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]