5.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= .

步骤 1：求Y的概率密度函数
首先，我们注意到Y的定义域为 $1\leq Y\leq 2$，因为 $Y={X}^{2}+1$，而X的取值范围是 $-1\lt x\lt 1$。因此，Y的最小值为1（当X=0时），最大值为2（当X=±1时）。
步骤 2：计算Y的概率密度函数
为了求Y的概率密度函数，我们使用变换法。对于给定的Y值，我们有 $Y={X}^{2}+1$，从而 $X=\pm\sqrt{Y-1}$。由于X的概率密度函数为 $f(x)=|x|$，我们需要考虑X的两个可能值，即正负根。因此，Y的概率密度函数为：
${f}_{Y}(y)=\sum_{i}f(x_i)\left|\frac{dx_i}{dy}\right|$
其中，$x_i$是Y的逆函数，$\frac{dx_i}{dy}$是逆函数的导数。对于Y，我们有两个逆函数，$x_1=\sqrt{y-1}$和$x_2=-\sqrt{y-1}$，它们的导数都是$\frac{1}{2\sqrt{y-1}}$。因此，我们有：
${f}_{Y}(y)=f(\sqrt{y-1})\left|\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\right|+f(-\sqrt{y-1})\left|\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\right|$
由于$f(x)=|x|$，我们有$f(\sqrt{y-1})=\sqrt{y-1}$和$f(-\sqrt{y-1})=\sqrt{y-1}$。因此，${f}_{Y}(y)=\sqrt{y-1}\left|\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\right|+\sqrt{y-1}\left|\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\right|=1$，对于$1\lt y\lt 2$。
步骤 3：计算概率 $P\{ -1\lt Y\lt \dfrac {3}{2}\}$
由于Y的定义域为 $1\leq Y\leq 2$，$P\{ -1\lt Y\lt \dfrac {3}{2}\}$实际上等价于$P\{ 1\lt Y\lt \dfrac {3}{2}\}$。因此，我们只需要计算Y在1和3/2之间的概率，即：
$P\{ 1\lt Y\lt \dfrac {3}{2}\}=\int_{1}^{\frac{3}{2}}{f}_{Y}(y)dy=\int_{1}^{\frac{3}{2}}1dy=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。