2025年春季学期期末考试 （单选题，2分） lim_(xto0)(sin2x)/(tan3x)=（）A. 2B. (2)/(3)C. (3)/(2)D. (1)/(3)

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换在求三角函数极限中的应用，以及对基本极限形式的掌握。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$和$\tan x \sim x$是常用的等价无穷小关系。利用这些替换，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的代数式，从而快速求出极限。

破题关键点：

1. 识别分子和分母中的三角函数形式，确定对应的等价无穷小替换形式。
2. 正确应用替换关系，将$\sin 2x$和$\tan 3x$分别替换为$2x$和$3x$。
3. 简化表达式后直接计算极限，注意约分时$x \neq 0$的隐含条件。

步骤1：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin 2x \sim 2x$，$\tan 3x \sim 3x$。
因此，原式可近似为：
$\frac{\sin 2x}{\tan 3x} \approx \frac{2x}{3x}.$

步骤2：简化表达式并计算极限
约分后得：
$\frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}.$
由于$x \neq 0$，极限值为$\frac{2}{3}$。

验证方法（洛必达法则）
原式为$\frac{0}{0}$型不定式，对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{3\sec^2 3x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}.$
结果一致，进一步确认答案正确。