题目

求函数f（x）=(4)/(2-(x)^2)的图形的渐近线．

求函数f（x）=$\frac{4}{2-{x}^{2}}$的图形的渐近线．

题目解答

答案

菁优网解：函数f（x）图象的渐近线有两类：
①水平渐近线，
$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{4}{2-{x}^{2}}$=0，
$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{4}{2-{x}^{2}}$=0，
由此可知，y=0为该函数图象的渐近线；
②垂直渐近线，
令2-x2=0解得，x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，
即$\underset{lim}{x→\sqrt{2}}$f（x）=∞，$\underset{lim}{x→-\sqrt{2}}$f（x）=∞，
综合得，该函数有三条渐近线，方程分别为：
y=0，x=-$\sqrt{2}$，x=$\sqrt{2}$（如右图）．

解析

渐近线是函数图像无限接近但永不相交的直线，主要包括水平渐近线和垂直渐近线。

  1. 水平渐近线：当$x$趋向于正无穷或负无穷时，函数值的极限值即为水平渐近线。若分子次数小于分母次数，则水平渐近线为$y=0$。
  2. 垂直渐近线：分母为零且分子不为零的点，此时函数值趋向于无穷大。
    本题中，分母为二次多项式，分子为常数，因此需分别求解水平渐近线和垂直渐近线。

水平渐近线

当$x \to \pm\infty$时，分母$2 - x^2$的主导项为$-x^2$，因此：
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{2 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{-x^2} = 0$
结论：水平渐近线为$y = 0$。

垂直渐近线

令分母$2 - x^2 = 0$，解得：
$x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{2}$
当$x$趋近于$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$时，分母趋近于$0$，函数值趋向于无穷大。
结论：垂直渐近线为$x = \sqrt{2}$和$x = -\sqrt{2}$。