21.行列式D非零的充分必要条件为( )A. D的所有元素非零B. D的任意两行元素之间不成比例C. 至少有n个元素非零D. 以D为系数行列式的线性方程组有唯一解

本题考查行列式非零的充分必要条件，解题思路是对每个选项逐一分析，判断其是否能作为行列式非零的充分必要条件。

选项A

行列式$D$的所有元素非零，不能保证行列式$D$非零。例如二阶行列式$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}$，其所有元素都非零，但根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=1\times1 - 1\times1 = 0$。所以选项A不是行列式$D$非零的充分必要条件。

选项B

行列式$D$的任意两行元素之间不成比例，也不能保证行列式$D$非零。例如三阶行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}$，第一行和第二行元素成比例，但如果我们构造一个更复杂的例子，如$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\end{vmatrix}$，任意两行元素不成比例，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}1&0\\1&0\end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}0&0\\1&0\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=0$。所以选项B不是行列式$D$非零的充分必要条件。

选项C

行列式$D$至少有$n$个元素非零，同样不能保证行列式$D$非零。例如二阶行列式$\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}$，有$2$个元素非零，但$\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}=1\times0 - 0\times0 = 0$。所以选项C不是行列式$D$非零的充分必要条件。

选项D

根据克莱姆法则，对于$n$个方程$n$个未知数的线性方程组$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\\cdots\\a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n\end{cases}$，其系数行列式$D = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$，当$D\neq 0$时，方程组有唯一解$x_i = \frac{D_i}{D}$（$i = 1,2,\cdots,n$），其中$D_i$是将$D$中第$i$列元素换为方程组的常数项$b_1,b_2,\cdots,b_n$后得到的行列式；反之，当方程组有唯一解时，系数行列式$D\neq 0$。所以以$D$为系数行列式的线性方程组有唯一解是行列式$D$非零的充分必要条件。