题目
1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;
题目解答
答案
解析
考查要点：本题考察数列收敛与发散的判断，重点在于理解数列极限的存在性条件。
解题核心思路：
- 观察数列通项的结构：通项为$n \cdot (-1)^n$，包含符号交替和线性增长的双重因素。
- 分析数列的变化趋势：随着$n$增大，绝对值部分$n$趋向于无穷大，符号交替导致数列在正负方向无限震荡。
- 判断极限是否存在：若数列的绝对值趋向于无穷大，则无论符号如何变化，数列均无界，极限不存在。
关键结论：
- 发散数列的判定条件：若数列无界或震荡无趋向，则发散。
- 本题中数列的绝对值无界，且符号交替，因此发散。
第（5）题：$\{ n{(-1)}^{n} \}$
分析通项结构
通项为$n \cdot (-1)^n$，其中：
- $(-1)^n$导致符号交替变化（奇数项为负，偶数项为正）。
- $n$随项数增大线性增长，绝对值部分无界。
观察数列趋势
- 奇数项：$-1, -3, -5, \dots$（趋向于$-\infty$）。
- 偶数项：$2, 4, 6, \dots$（趋向于$+\infty$）。
- 数列在正负方向无限震荡，且振幅（绝对值）无限增大。
判断极限存在性
根据极限定义，若$\lim\limits_{n \to \infty} x_n$存在，则数列收敛。但本数列：
- 不存在有限极限值（因符号交替且绝对值无限增长）。
- 也不存在无限极限（因正负方向交替，无法统一趋向$+\infty$或$-\infty$）。
因此，数列发散。