1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;

考查要点：本题考察数列收敛与发散的判断，重点在于理解数列极限的存在性条件。

解题核心思路：

1. 观察数列通项的结构：通项为$n \cdot (-1)^n$，包含符号交替和线性增长的双重因素。
2. 分析数列的变化趋势：随着$n$增大，绝对值部分$n$趋向于无穷大，符号交替导致数列在正负方向无限震荡。
3. 判断极限是否存在：若数列的绝对值趋向于无穷大，则无论符号如何变化，数列均无界，极限不存在。

关键结论：

• 发散数列的判定条件：若数列无界或震荡无趋向，则发散。
• 本题中数列的绝对值无界，且符号交替，因此发散。

第（5）题：$\{ n{(-1)}^{n} \}$

分析通项结构

通项为$n \cdot (-1)^n$，其中：

• $(-1)^n$导致符号交替变化（奇数项为负，偶数项为正）。
• $n$随项数增大线性增长，绝对值部分无界。

观察数列趋势

• 奇数项：$-1, -3, -5, \dots$（趋向于$-\infty$）。
• 偶数项：$2, 4, 6, \dots$（趋向于$+\infty$）。
• 数列在正负方向无限震荡，且振幅（绝对值）无限增大。

判断极限存在性

根据极限定义，若$\lim\limits_{n \to \infty} x_n$存在，则数列收敛。但本数列：

1. 不存在有限极限值（因符号交替且绝对值无限增长）。
2. 也不存在无限极限（因正负方向交替，无法统一趋向$+\infty$或$-\infty$）。
   因此，数列发散。