题目
设函数f（x）=a2x2+ax-3lnx+1，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若y=f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
设函数f（x）=a2x2+ax-3lnx+1，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y=f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y=f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）f′（x）=2a2x+a-$\frac{3}{x}$=$\frac{2{a}^{2}{x}^{2}+ax-3}{x}$=$\frac{（2ax+3）（ax-1）}{x}$，x＞0，
因为a＞0，
所以-$\frac{3}{2a}$＜0＜$\frac{1}{a}$，
所以在（0，$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上f（x）单调递增．
（2）由（1）可知，f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=a2×（$\frac{1}{a}$）2+a×$\frac{1}{a}$-3ln$\frac{1}{a}$+1=3+3lna，
因为y=f（x）的图像与x轴没有公共点，
所以3+3lna＞0，
所以a＞$\frac{1}{e}$，
所以a的取值范围为（$\frac{1}{e}$，+∞）．
因为a＞0，
所以-$\frac{3}{2a}$＜0＜$\frac{1}{a}$，
所以在（0，$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上f（x）单调递增．
（2）由（1）可知，f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=a2×（$\frac{1}{a}$）2+a×$\frac{1}{a}$-3ln$\frac{1}{a}$+1=3+3lna，
因为y=f（x）的图像与x轴没有公共点，
所以3+3lna＞0，
所以a＞$\frac{1}{e}$，
所以a的取值范围为（$\frac{1}{e}$，+∞）．
解析
步骤 1：求导数f'(x)
f(x) = a^{2}x^{2} + ax - 3lnx + 1
f'(x) = 2a^{2}x + a - \frac{3}{x}
步骤 2：确定单调区间
f'(x) = \frac{2a^{2}x^{2} + ax - 3}{x} = \frac{(2ax + 3)(ax - 1)}{x}
因为a > 0，所以-\frac{3}{2a} < 0 < \frac{1}{a}
在(0, \frac{1}{a})上，f'(x) < 0，f(x)单调递减
在(\frac{1}{a}, +∞)上，f'(x) > 0，f(x)单调递增
步骤 3：求a的取值范围
f(x)_{min} = f(\frac{1}{a}) = a^{2}(\frac{1}{a})^{2} + a(\frac{1}{a}) - 3ln(\frac{1}{a}) + 1 = 3 + 3lna
因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3 + 3lna > 0
所以a > \frac{1}{e}
f(x) = a^{2}x^{2} + ax - 3lnx + 1
f'(x) = 2a^{2}x + a - \frac{3}{x}
步骤 2：确定单调区间
f'(x) = \frac{2a^{2}x^{2} + ax - 3}{x} = \frac{(2ax + 3)(ax - 1)}{x}
因为a > 0，所以-\frac{3}{2a} < 0 < \frac{1}{a}
在(0, \frac{1}{a})上，f'(x) < 0，f(x)单调递减
在(\frac{1}{a}, +∞)上，f'(x) > 0，f(x)单调递增
步骤 3：求a的取值范围
f(x)_{min} = f(\frac{1}{a}) = a^{2}(\frac{1}{a})^{2} + a(\frac{1}{a}) - 3ln(\frac{1}{a}) + 1 = 3 + 3lna
因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3 + 3lna > 0
所以a > \frac{1}{e}