用正交变换法化二次型 f ( x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 ) = 2 x _ 1 ^ 2 + 3 x _ 2 ^ 2 + 3 x _ 3 ^ 2 -2 x _ 1 x _ 2-2 x _ 1 x _ 3 为标准形并给出所用的正交变换 x = Py.

步骤 1：构造二次型矩阵
二次型 f ( x _ 1 , x _ 2 , x _ 3 ) = 2 x _ 1 ^ 2 + 3 x _ 2 ^ 2 + 3 x _ 3 ^ 2 -2 x _ 1 x _ 2-2 x _ 1 x _ 3 的矩阵表示为：
A=\begin{pmatrix}
2& -1& -1\\
-1& 3& 0\\
-1& 0&3
\end{pmatrix}

步骤 2：求特征值
计算矩阵 A 的特征多项式：
\left | \lambda E-A \right |= \begin{pmatrix}
\lambda -2& 1& 1\\
1& \lambda - 3& 0\\
1& 0&\lambda -3
\end{pmatrix}=-\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-19\lambda +12=0;
解得特征值为：\lambda _1=3;\lambda _2=1;\lambda _3=4;

步骤 3：求特征向量
当\lambda _1=3时，解方程(A-3E)\alpha =0得基础解系\alpha _1=\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix};
当\lambda _2=1时，解方程(A-E)\alpha =0得基础解系\alpha _2=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1
\end{pmatrix};
当\lambda _3=4时，解方程(A-4E)\alpha =0得基础解系\alpha _3=\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-1
\end{pmatrix};

步骤 4：正交化和单位化
\alpha _1、\alpha _2、\alpha _3是不同特征向量的特征值，且A为实对称矩阵，故三者两两正交。将它们单位化：
\gamma _1=\frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix};
\gamma _2=\frac{1}{\sqrt{6} }\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1
\end{pmatrix};
\gamma _3=\frac{1}{\sqrt{3} }\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-1\end{pmatrix};

步骤 5：构造正交变换矩阵
令P=\begin{pmatrix}
\gamma _1 &\gamma _2 &\gamma _3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0& \frac{2}{\sqrt{6} } & \frac{1}{\sqrt{3} }\\
\frac{-1}{\sqrt{2} } &\frac{1}{\sqrt{6} } & \frac{-1}{\sqrt{3} }\\
\frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } & \frac{-1}{\sqrt{3} }
\end{pmatrix};

步骤 6：写出标准形
于是有正交变换x=Py，把二次型化成标准型：f=3y_1^{2}+y_2^{2}+4y_3^{2}