: 设X是一个非空集合,P(X)是X的幂集.规定-|||-+B=(A-B)cup (B-A) , cdot B=Acap B, A, in P(X).-|||-证明:P(X)关于所定义的运算构成有单位元的交换环.

步骤 1：定义运算
假设集合 $P(X)$ 是集合 $X$ 的所有子集构成的集合。定义两个运算：加法 $+$ 和乘法 $\cdot$，其中 $A+B=(A-B)\cup(B-A)$，$A\cdot B=A\cap B$。

步骤 2：验证交换律
对于任意的 $A,B\in P(X)$，有 $A+B=(A-B)\cup(B-A)=(B-A)\cup(A-B)=B+A$，$A\cdot B=A\cap B=B\cap A=B\cdot A$。所以加法与乘法都满足交换律。

步骤 3：验证结合律
对于任意的 $A,B,C\in P(X)$，有 $(A+B)+C=(A-B)\cup(B-A)\cup(C-(A+B))\cup((A+B)-C)=A+(B+C)$，$(A\cdot B)\cdot C=(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cdot(B\cdot C)$。所以加法与乘法都满足结合律。

步骤 4：验证零元
对于任意的 $A\in P(X)$，有 $\varnothing+A=(\varnothing-A)\cup(A-\varnothing)=\varnothing A=A$，所以空集 $\varnothing$ 是零元。

步骤 5：验证负元
对于任意的 $A\in P(X)$，有 $A+A=(A-A)\cup(A-A)=\varnothing$，即A的负元为A，所以P(X)的每个元素都有负元。

步骤 6：验证单位元
对于任意的 $A\in P(X)$，有 $X\cdot A=X\cap A=A$，$A\cdot X=A\cap X=A$，所以X为P(X)的单位元。

步骤 7：验证分配律
对于任意的 $A,B,C\in P(X)$，有 $(A+B)\cdot C=(A\cap C)\cup(B\cap C)-(A\cap B\cap C)=(A\cdot C)+(B\cdot C)$。因为乘法交换律成立，所以也有 $C\cdot(A+B)=C\cdot A+C\cdot B$，因此乘法对加法满足分配律。