2.二元函数f(x,y)=}(x^2y)/(x^4)+y^(2),& (x,y)neq(0,0)0,& (x,y)=(0,0)在点(0,0)处（）.A. 连续且偏导数存在B. 连续但偏导数不存在C. 不连续但偏导数存在D. 不连续且偏导数不存在

考查要点：本题主要考查二元函数在某点的连续性和偏导数存在性的判断，需要掌握极限存在性与路径无关性的关系，以及偏导数定义的应用。

解题核心思路：

1. 连续性判断：通过不同路径趋近于$(0,0)$，若极限值不同，则函数在该点不连续。
2. 偏导数存在性：直接利用偏导数的定义计算，验证是否存在有限的偏导数值。

破题关键点：

• 连续性：沿$y=x^2$路径趋近时极限值为$\frac{1}{2}$，与$f(0,0)=0$矛盾，说明不连续。
• 偏导数：分别沿$x$轴和$y$轴方向趋近，差商的极限均为$0$，说明偏导数存在。

连续性判断

计算$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$：

1. 沿$x=0$趋近：$\lim_{y \to 0} \frac{0}{y^2} = 0$。
2. 沿$y=0$趋近：$\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^4} = 0$。
3. 沿$y=x^2$趋近：$\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$。

结论：极限值不同，故函数在$(0,0)$处不连续。

偏导数存在性判断

1. $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$：
   $\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0.$
2. $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$：
   $\lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0.$

结论：两个偏导数均存在且等于$0$。