10. 极限 lim_(x arrow 0) ( (2 + e^frac(1)/(x))(1 + e^(2)/(x)) + (sin x)/(|ln(1+x)|) ) = _.

考查要点：本题主要考查分段函数在不同趋近方向下的极限计算，涉及指数函数、对数函数及三角函数的极限性质，以及左右极限的判断。

解题核心思路：

1. 分左右极限讨论：由于$x \to 0$时，$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x}$的符号不同，需分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限。
2. 化简分式：通过分子分母同除以指数项或泰勒展开，简化表达式。
3. 等价无穷小替换：利用$\sin x \sim x$和$\ln(1+x) \sim x$简化计算。

破题关键点：

• 指数函数的极限性质：当$x \to 0^+$时，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$；当$x \to 0^-$时，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$。
• 绝对值处理：当$x \to 0^-$时，$\ln(1+x) < 0$，需注意绝对值符号的影响。

当 $x \to 0^+$ 时

分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{2}{x}}}$

1. 分子分母同除以 $e^{\frac{2}{x}}$：
   $\frac{2e^{-\frac{2}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}}{e^{-\frac{2}{x}} + 1}$
2. 极限计算：当$x \to 0^+$时，$e^{-\frac{2}{x}} \to 0$，$e^{-\frac{1}{x}} \to 0$，故极限为$\frac{0 + 0}{0 + 1} = 0$。

分式 $\frac{\sin x}{|\ln(1+x)|}$

1. 等价无穷小替换：$\sin x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$。
2. 绝对值处理：当$x \to 0^+$时，$\ln(1+x) > 0$，故$|\ln(1+x)| = \ln(1+x)$。
3. 化简：
   $\frac{x}{x} = 1$

总极限：$0 + 1 = 1$。

当 $x \to 0^-$ 时

分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{2}{x}}}$

1. 指数函数极限：当$x \to 0^-$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，故$e^{\frac{1}{x}} \to 0$，$e^{\frac{2}{x}} \to 0$。
2. 直接代入：
   $\frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$

分式 $\frac{\sin x}{|\ln(1+x)|}$

1. 等价无穷小替换：$\sin x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$。
2. 绝对值处理：当$x \to 0^-$时，$\ln(1+x) < 0$，故$|\ln(1+x)| = -\ln(1+x)$。
3. 化简：
   $\frac{x}{-x} = -1$

总极限：$2 + (-1) = 1$。