题目
极限lim _(xarrow +infty )dfrac ({x)^2+x}({2)^x+x}(sin x+cos x)=_____.
极限
_____.
题目解答
答案
我们知
，为有界函数，极限
，有界函数乘以无穷小极限为0，故极限为
.
解析
步骤 1：确定有界函数
$\sin x + \cos x$ 的值域为 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，因此 $|\sin x + \cos x| \leqslant \sqrt{2}$，即 $\sin x + \cos x$ 是有界函数。
步骤 2：计算极限
计算极限 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x}$，使用洛必达法则。
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2x+1}{{2}^{x}\ln 2+1} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{{2}^{x}\cdot {(\ln 2)}^{2}} = 0$。
步骤 3：应用有界函数乘以无穷小的性质
由于 $\sin x + \cos x$ 是有界函数，而 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x} = 0$，根据有界函数乘以无穷小的性质，极限 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x}(\sin x+\cos x) = 0$。
$\sin x + \cos x$ 的值域为 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，因此 $|\sin x + \cos x| \leqslant \sqrt{2}$，即 $\sin x + \cos x$ 是有界函数。
步骤 2：计算极限
计算极限 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x}$，使用洛必达法则。
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2x+1}{{2}^{x}\ln 2+1} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {2}{{2}^{x}\cdot {(\ln 2)}^{2}} = 0$。
步骤 3：应用有界函数乘以无穷小的性质
由于 $\sin x + \cos x$ 是有界函数，而 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x} = 0$，根据有界函数乘以无穷小的性质，极限 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{2}^{x}+x}(\sin x+\cos x) = 0$。