求下列极限.(1) lim_(x to 0) (int_(0)^x sin t^2 , dt)/(x^3)(2) lim_(x to 0) (int_(0)^x cos t^2 , dt)/(x)(3) lim_((x, y) to (0, 2)) (sin (xy))/(x)(4) lim_((x, y) to (1, 2)) (x + y)/(xy)(5) lim_((x, y) to (0, 1)) (1 - xy)/(x^2 - y)(6) lim_((x, y) to (0, 0)) (sqrt(xy + 4) - 2)/(xy)

本题主要考查了函数极限的计算，涉及到洛必达法则、等价无穷小替换、直接代入法以及分子有理化等方法。

(1) 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt}{x^3}$

• 本题考查知识点：变上限积分求导以及洛必达法则。
• 解题思路：当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt \to 0$，分母 $x^3 \to 0$，此极限为 $\frac{0}{0}$ 型，可使用洛必达法则，对分子分母分别求导后再求极限。
• 解析：
  根据变上限积分求导公式，若 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，则 $F^\prime(x)=f(x)$。
  对分子 $\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt$ 求导得：$(\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt)^\prime=\sin x^2$。
  对分母 $x^3$ 求导得：$(x^3)^\prime = 3x^2$。
  所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{3x^2}$。
  又因为当 $u \to 0$ 时，$\sin u \sim u$，令 $u = x^2$，当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$，则 $\sin x^2 \sim x^2$。
  所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$。

(2) 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt}{x}$

• 本题考查知识点：变上限积分求导以及洛必达法则。
• 解题思路：当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt \to 0$，分母 $x \to 0$，此极限为 $\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则，对分子分母分别求导后再求极限。
• 解析：
  对分子 $\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt$ 求导得：$(\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt)^\prime=\cos x^2$。
  对分母 $x$ 求导得：$(x)^\prime = 1$。
  所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt}{x} = \lim_{x \to 0} \cos x^2$。
  将 $x = 0$ 代入 $\cos x^2$ 得：$\cos 0^2 = 1$。

(3) 求 $\lim_{(x, y) \to (0, 2)} \frac{\sin (xy)}{x}$

• 本题考查知识点：等价无穷小替换。
• 解题思路：当 $(x,y) \to (0,2)$ 时，$xy \to 0$，利用等价无穷小 $\sin u \sim u$（$u \to 0$）进行替换，然后化简求极限。
• 解析：
  当 $(x,y) \to (0,2)$ 时，$xy \to 0$，则 $\sin(xy) \sim xy$。
  所以 $\lim_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y) \to (0,2)} \frac{xy}{x}$。
  约去分子分母的 $x$ 得：$\lim_{(x,y) \to (0,2)} y$。
  将 $y = 2$ 代入得：$2$。

(4) 求 $\lim_{(x, y) \to (1, 2)} \frac{x + y}{xy}$

• 本题考查知识点：二元函数极限的直接代入法。
• 解题思路：函数 $\frac{x + y}{xy}$ 在点 $(1,2)$ 处连续，可直接将 $x = 1$，$y = 2$ 代入函数中求极限。
• 解析：
  将 $x = 1$，$y = 2$ 代入 $\frac{x + y}{xy}$ 得：$\frac{1 + 2}{1\times2}=\frac{3}{2}$。

(5) 求 $\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{1 - xy}{x^2 - y}$

• 本题考查知识点：二元函数极限的直接代入法。
• 解题思路：函数 $\frac{1 - xy}{x^2 - y}$ 在点 $(0,1)$ 处连续，可直接将 $x = 0$，$y = 1$ 代入函数中求极限。
• 解析：
  将 $x = 0$，$y = 1$ 代入 $\frac{1 - xy}{x^2 - y}$ 得：$\frac{1 - 0\times1}{0^2 - 1}=-1$。

(6) 求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sqrt{xy + 4} - 2}{xy}$

• 本题考查知识点：分子有理化求极限。
• 解题思路：当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，此极限为 $\frac{0}{0}$ 型，对分子进行有理化，然后化简求极限。
• 解析：
  给分子分母同时乘以 $\sqrt{xy + 4} + 2$ 得：
  $\begin{align*}\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{xy + 4} - 2}{xy}&=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(\sqrt{xy + 4} - 2)(\sqrt{xy + 4} + 2)}{xy(\sqrt{xy + 4} + 2)}\\&=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(xy + 4) - 4}{xy(\sqrt{xy + 4} + 2)}\\&=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{xy(\sqrt{xy + 4} + 2)}\end{align*}$
  约去分子分母的 $xy$ 得：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{\sqrt{xy + 4} + 2}$。
  将 $(x,y) = (0,0)$ 代入得：$\frac{1}{\sqrt{0\times0 + 4} + 2}=\frac{1}{4}$。