题目

某学生接连参加同一课程的两次考试-|||-,第一次考试及格的概率为p,如果他-|||-第一次及格,则第二次及格的概率也-|||-为p,如果他第一次不及格,则第二次-|||-及格的概率为 p/2·-|||-(1)求他第一次与第二次考试都及格的-|||-概率;-|||-(2)求他第二次考试及格的概率;某学生接连参加同一课程的两次考试-|||-,第一次考试及格的概率为p,如果他-|||-第一次及格,则第二次及格的概率也-|||-为p,如果他第一次不及格,则第二次-|||-及格的概率为 p/2·-|||-(1)求他第一次与第二次考试都及格的-|||-概率;-|||-(2)求他第二次考试及格的概率;

$\begin {aligned} &某学生接连参加同一课程的两次考试\\&. 第一次考试及格的概率为 p, 如果他\\&第一次及格, 则第二次及格的概率也\\&为 p, 如果他第一次不及格, 则第二次\\&及格的概率为 \frac{p}{2}.\\ &(1) 求他第一次与第二次考试都及格的\\&概率;\\ &(2) 求他第二次考试及格的概率; \end {aligned}$ $\begin {aligned} &(3) 若在这两次考试中至少有一次及格\\&,他便可以取得某种证书, 求该学生取\\&得这种证书的概率;\\ &(4) 若已知他第二次考试及格了, 求他\\&第一次考试及格的概率. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &(1) 要求第一次和第二次考试都及格，\\&可以将两次考试的概率相乘。根据条\\&件，第一次考试及格的概率为 p，第\\&二次考试及格的概率也为 p，因此第\\&一次和第二次考试都及格的概率为\\& p \times p = p^2。 \\ &(2) 要求第二次考试及格的概率，可以\\&考虑两种情况：第一次及格和第一次\\&不及格。对于第一次及格的情况，第\\&二次考试及格的概率为 p；对于第一次\\&不及格的情况，第二次考试及格的概\\&率为 \frac{p}{2}。由于这两种情况是互斥事件\\&，所以可以将它们的概率相加。因此\\&，第二次考试及格的概率为 p + \frac{p}{2} =\\& \frac{3p}{2}。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &(3) 要求至少有一次考试及格的概率，\\&可以计算两种情况的概率：第一次及\\&格但第二次不及格，和第一次不及格\\&但第二次及格。第一次及格但第二次\\&不及格的概率为 p \times \left(1 - \frac{p}{2}\right) =\\& p - \frac{p^2}{2}；\\&第一次不及格但第二次及格的概率为\\& \left(1 - p\right) \times \frac{p}{2} = \frac{p - p^2}{2}。由于这两种情\\&况也是互斥事件，所以可以将它们的\\&概率相加。因此，至少有一次考试及\\&格的概率为 p - \frac{p^2}{2} + \frac{p - p^2}{2} = p-p^2。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &(4) 已知第二次考试及格了，要求第一\\&次考试及格的概率。根据条件，如果\\&第一次及格，则第二次及格的概率为\\& p；如果第一次不及格，则第二次及格\\&的概率为 \frac{p}{2}。因此，可以通过贝叶斯\\&公式计算第一次考试及格的概率： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &P(\text{第一次及格}|\text{第二次及格}) \\&= \frac{P(\text{第二次及格}|\text{第一次及格}) \times P(\text{第一次及格})}{P(\text{第二次及格})} \\ &根据已知条件，P(\text{第二次及格}|\text{第一次及格}) \\&= p，P(\text{第一次及格}) = p，P(\text{第二次及格}) \\&= \frac{3p}{2}。代入计算得： \\ &P(\text{第一次及格}|\text{第二次及格}) \\&= \frac{p \times p}{\frac{3p}{2}} = \frac{2p^2}{3p} = \frac{2p}{3} \end {aligned}$