题目
函数=(x)^2+(y)^2+(z)^2在点处=(x)^2+(y)^2+(z)^2 下列说法正确的是 （ ）A 增加最快的方向 =(x)^2+(y)^2+(z)^2 . B 减少最快的方向 =(x)^2+(y)^2+(z)^2 . C =(x)^2+(y)^2+(z)^2 . D 该点处各方向导数中的最大值为 =(x)^2+(y)^2+(z)^2
函数
在点处
下列说法正确的是 （ ）
A 增加最快的方向 .
B 减少最快的方向 
.
C 
.
D 该点处各方向导数中的最大值为 
题目解答
答案
∵函数
∴
∴
故
即：导数中的最大值为
故答案选择D。
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $d = x^2 + y^2 + z^2$ 在点 (1,1,1) 处的偏导数。偏导数分别对 $x$、$y$、$z$ 求导。
- $\dfrac{\partial d}{\partial x} = 2x$
- $\dfrac{\partial d}{\partial y} = 2y$
- $\dfrac{\partial d}{\partial z} = 2z$
步骤 2：计算梯度
在点 (1,1,1) 处，偏导数的值分别为：
- $\dfrac{\partial d}{\partial x} = 2 \times 1 = 2$
- $\dfrac{\partial d}{\partial y} = 2 \times 1 = 2$
- $\dfrac{\partial d}{\partial z} = 2 \times 1 = 2$
因此，梯度 $\nabla d(1,1,1) = (2,2,2)$。
步骤 3：确定方向导数的最大值
梯度的方向是函数增加最快的方向，其大小是方向导数的最大值。因此，方向导数的最大值为梯度的模长，即：
- $|\nabla d(1,1,1)| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
首先，我们需要计算函数 $d = x^2 + y^2 + z^2$ 在点 (1,1,1) 处的偏导数。偏导数分别对 $x$、$y$、$z$ 求导。
- $\dfrac{\partial d}{\partial x} = 2x$
- $\dfrac{\partial d}{\partial y} = 2y$
- $\dfrac{\partial d}{\partial z} = 2z$
步骤 2：计算梯度
在点 (1,1,1) 处，偏导数的值分别为：
- $\dfrac{\partial d}{\partial x} = 2 \times 1 = 2$
- $\dfrac{\partial d}{\partial y} = 2 \times 1 = 2$
- $\dfrac{\partial d}{\partial z} = 2 \times 1 = 2$
因此，梯度 $\nabla d(1,1,1) = (2,2,2)$。
步骤 3：确定方向导数的最大值
梯度的方向是函数增加最快的方向，其大小是方向导数的最大值。因此，方向导数的最大值为梯度的模长，即：
- $|\nabla d(1,1,1)| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。