题目
7、(8分)一加法器同时收到20个噪声电压V_(k) (k=1,2,...,20)，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0，10)上服从均匀分布。记V=sum_(k=1)^20V_(k)，求P(V>105)的近似值。
7、(8分)一加法器同时收到20个噪声电压$V_{k} (k=1,2,\cdots,20)$，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0，10)上服从均匀分布。记$V=\sum_{k=1}^{20}V_{k}$，求$P(V>105)$的近似值。
题目解答
答案
1. **计算均值和方差**：
每个 $ V_k $ 在 $(0,10)$ 上均匀分布，均值 $ \mu = 5 $，方差 $ \sigma^2 = \frac{25}{3} $。
对于 $ V = \sum_{k=1}^{20} V_k $，
\[
E(V) = 20 \times 5 = 100, \quad D(V) = 20 \times \frac{25}{3} = \frac{500}{3}
\]
2. **标准化变量**：
令 $ Z = \frac{V - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}} $，则 $ Z $ 近似服从标准正态分布。
\[
\sqrt{\frac{500}{3}} = \frac{10\sqrt{15}}{3}
\]
\[
P(V > 105) = P\left(Z > \frac{105 - 100}{\frac{10\sqrt{15}}{3}}\right) = P\left(Z > \frac{\sqrt{15}}{10}\right) \approx P(Z > 0.3873)
\]
3. **查表求概率**：
由标准正态分布表，$ P(Z < 0.39) \approx 0.6517 $，
\[
P(Z > 0.3873) \approx 1 - 0.6517 = 0.3483
\]
**答案**：
\[
\boxed{0.348}
\]
解析
步骤 1：计算均值和方差
每个 $ V_k $ 在 $(0,10)$ 上均匀分布，均值 $ \mu = 5 $，方差 $ \sigma^2 = \frac{25}{3} $。 对于 $ V = \sum_{k=1}^{20} V_k $， \[ E(V) = 20 \times 5 = 100, \quad D(V) = 20 \times \frac{25}{3} = \frac{500}{3} \]
步骤 2：标准化变量
令 $ Z = \frac{V - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}} $，则 $ Z $ 近似服从标准正态分布。 \[ \sqrt{\frac{500}{3}} = \frac{10\sqrt{15}}{3} \] \[ P(V > 105) = P\left(Z > \frac{105 - 100}{\frac{10\sqrt{15}}{3}}\right) = P\left(Z > \frac{\sqrt{15}}{10}\right) \approx P(Z > 0.3873) \]
步骤 3：查表求概率
由标准正态分布表，$ P(Z < 0.39) \approx 0.6517 $， \[ P(Z > 0.3873) \approx 1 - 0.6517 = 0.3483 \]
每个 $ V_k $ 在 $(0,10)$ 上均匀分布，均值 $ \mu = 5 $，方差 $ \sigma^2 = \frac{25}{3} $。 对于 $ V = \sum_{k=1}^{20} V_k $， \[ E(V) = 20 \times 5 = 100, \quad D(V) = 20 \times \frac{25}{3} = \frac{500}{3} \]
步骤 2：标准化变量
令 $ Z = \frac{V - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}} $，则 $ Z $ 近似服从标准正态分布。 \[ \sqrt{\frac{500}{3}} = \frac{10\sqrt{15}}{3} \] \[ P(V > 105) = P\left(Z > \frac{105 - 100}{\frac{10\sqrt{15}}{3}}\right) = P\left(Z > \frac{\sqrt{15}}{10}\right) \approx P(Z > 0.3873) \]
步骤 3：查表求概率
由标准正态分布表，$ P(Z < 0.39) \approx 0.6517 $， \[ P(Z > 0.3873) \approx 1 - 0.6517 = 0.3483 \]