某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9，已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.(1)求仪器的不合格率；(2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大？.
$(1)$求仪器的不合格率；
$(2)$如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大？.
题目解答
答案
（1）设事件$B$为仪器不合格，
设$A_{i}$为“仪器上有$i$个部件不是优质品”，$i=0$，$1$，$2$，$3$，
$A_{0}$，$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$构成一个完备事件组，
$P(B|A_{0})=0$，$P(B|A_{1})=0.2$，$P(B|A_{2})=0.6$，$P(B|A_{3})=0.9$，
$P(A_{0})=0.8times 0.7times 0.9=0.504$，
$P(A_{1})=0.2times 0.7times 0.9+0.8times 0.3times 0.9+0.8times 0.7times 0.1=0.398$，
$P(A_{3})=0.2times 0.3times 0.1=0.006$，
$P(A_{2})=1-P(A_{0})-P(A_{1})-P(A_{3})=0.092$，
由全概率公式得：
$Pleft(Bright)=sum_{i=0}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$
$=0.504times 0+0.398times 0.2+0.092times 0.6+0.006times 0.9=0.1402$.
$(2)$应用贝叶斯公式，得：
$P(A_{0}|B)=0$，
$P(A_{1}|B)=frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}=frac{796}{1402}$，
$P(A_{2}|B)=frac{P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}=frac{552}{1402}$，
$P(A_{3}|B)=frac{P({A}_{3})P(B|{A}_{3})}{P(B)}=frac{54}{1402}$，
$therefore $已发现一台仪器不合格，它有一个部件不是优质品的概率最大.
解析
设事件$B$为仪器不合格，设$A_{i}$为“仪器上有$i$个部件不是优质品”，$i=0$，$1$，$2$，$3$，$A_{0}$，$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$构成一个完备事件组。
步骤 2：计算各事件的概率
$P(B|A_{0})=0$，$P(B|A_{1})=0.2$，$P(B|A_{2})=0.6$，$P(B|A_{3})=0.9$，
$P(A_{0})=0.8times 0.7times 0.9=0.504$，
$P(A_{1})=0.2times 0.7times 0.9+0.8times 0.3times 0.9+0.8times 0.7times 0.1=0.398$，
$P(A_{3})=0.2times 0.3times 0.1=0.006$，
$P(A_{2})=1-P(A_{0})-P(A_{1})-P(A_{3})=0.092$，
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得：
$Pleft(Bright)=sum_{i=0}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$
$=0.504times 0+0.398times 0.2+0.092times 0.6+0.006times 0.9=0.1402$.
步骤 4：应用贝叶斯公式
$P(A_{0}|B)=0$，
$P(A_{1}|B)=frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}=frac{796}{1402}$，
$P(A_{2}|B)=frac{P({A}_{2})P(B|{A}_{2})}{P(B)}=frac{552}{1402}$，
$P(A_{3}|B)=frac{P({A}_{3})P(B|{A}_{3})}{P(B)}=frac{54}{1402}$，
步骤 5：确定最大概率
$therefore $已发现一台仪器不合格，它有一个部件不是优质品的概率最大.