题目
若 geqslant 0 geqslant 0 满足 ^2+(y)^2leqslant k(e)^x+y ,则k的最小值为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造函数
构造函数 $g(t)=\dfrac {{t}^{2}}{{e}^{t}}(t\geqslant 0)$ ，目的是为了将原问题转化为求解函数的最大值问题。
步骤 2：求导
对函数 $g(t)$ 求导，得到 $g'(t)=\dfrac {t(2-t)}{{e}^{t}}$ ，目的是为了分析函数的单调性。
步骤 3：分析单调性
当 $0\lt t\lt 2$ 时， $g'(t)\gt 0$ ，说明 $g(t)$ 在这个区间内单调递增；当 $t\geqslant 2$ 时， $g'(t)\lt 0$ ，说明 $g(t)$ 在这个区间内单调递减。
步骤 4：求最大值
根据单调性分析，可以得出 ${g{(t)}_{max}}=g(2)=\dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，即函数 $g(t)$ 在 $t=2$ 时取得最大值。
步骤 5：应用到原问题
将原问题中的 ${x}^{2}+{y}^{2}$ 转化为 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{e}^{x+y}}$ ，并利用步骤 4 的结果，得到 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{e}^{x+y}}\leqslant \dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，从而得出 $k\geqslant \dfrac {4}{{e}^{2}}$ 。
步骤 6：确定最小值
根据步骤 5 的结果，可以得出 $k$ 的最小值为 $\dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，当 $x=2$ 和 $y=0$ 时取等号。
构造函数 $g(t)=\dfrac {{t}^{2}}{{e}^{t}}(t\geqslant 0)$ ，目的是为了将原问题转化为求解函数的最大值问题。
步骤 2：求导
对函数 $g(t)$ 求导，得到 $g'(t)=\dfrac {t(2-t)}{{e}^{t}}$ ，目的是为了分析函数的单调性。
步骤 3：分析单调性
当 $0\lt t\lt 2$ 时， $g'(t)\gt 0$ ，说明 $g(t)$ 在这个区间内单调递增；当 $t\geqslant 2$ 时， $g'(t)\lt 0$ ，说明 $g(t)$ 在这个区间内单调递减。
步骤 4：求最大值
根据单调性分析，可以得出 ${g{(t)}_{max}}=g(2)=\dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，即函数 $g(t)$ 在 $t=2$ 时取得最大值。
步骤 5：应用到原问题
将原问题中的 ${x}^{2}+{y}^{2}$ 转化为 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{e}^{x+y}}$ ，并利用步骤 4 的结果，得到 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{e}^{x+y}}\leqslant \dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，从而得出 $k\geqslant \dfrac {4}{{e}^{2}}$ 。
步骤 6：确定最小值
根据步骤 5 的结果，可以得出 $k$ 的最小值为 $\dfrac {4}{{e}^{2}}$ ，当 $x=2$ 和 $y=0$ 时取等号。