练习：要造一个容积为128m³的长方体敞口水池，已知水池侧壁单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？

本题考查利用拉格朗日乘数法或代入消元法求解条件极值问题，以确定长方体敞口水池在给定容积下造价最低时的尺寸。解题思路如下：

1. 建立目标函数和约束条件：
   • 设水池长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$ 米，底部单位造价为 $a$，因为水池侧壁单位造价是底部的 $2$ 倍，所以侧壁单位造价为 $2a$。
   • 水池底部面积为 $xy$，四个侧壁面积为 $2xz + 2yz$，则总造价 $S$ 为底部造价与侧壁造价之和，即 $S = axy + 2a(2xz + 2yz)=(xy + 4xz + 4yz)a$。
   • 已知水池容积为 $128m³$，所以容积约束条件为 $xyz = 128$。
2. 使用拉格朗日乘数法求解：
   • 构造拉格朗日函数 $L = xy + 4xz + 4yz + \lambda(xyz - 128)$。
   • 分别对 $x$、$y$、$z$、$\lambda$ 求偏导数，并令其为零：
     • $\frac{\partial L}{\partial x}=y + 4z+\lambda yz = 0$ ①；
     • $\frac{\partial L}{\partial y}=x + 4z+\lambda xz = 0$ ②；
     • $\frac{\partial L}{\partial z}=4x + 4y+\lambda xy = 0$ ③；
     • $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=xyz - 128 = 0$ ④。
   • 由①得 $\lambda=-\frac{y + 4z}{yz}=-\frac{1}{z}-\frac{4}{y}$；由②得 $\lambda=-\frac{x + 4z}{xz}=-\frac{1}{z}-\frac{4}{x}$；由③得 $\lambda=-\frac{4x + 4y}{xy}=-\frac{4}{y}-\frac{4}{x}$。
   • 由 $-\frac{1}{z}-\frac{4}{y}=-\frac{1}{z}-\frac{4}{x}$，可得 $x = y$。
   • 将 $x = y$ 代入④得 $x^{2}z = 128$，即 $z=\frac{128}{x^{2}}$。
   • 把 $x = y$ 和 $z=\frac{128}{x^{2}}$ 代入③得：$4x + 4x+\left(-\frac{4}{x}-\frac{4}{x}\right)x\cdot x = 0$，化简为 $8x-\frac{8x}{x}=0$，即 $8x - 8 = 0$，解得 $x = 8$。
   • 因为 $x = y$，所以 $y = 8$，再将 $x = 8$ 代入 $z=\frac{128}{x^{2}}$，得 $z=\frac{128}{8^{2}} = 2$。
3. 使用代入消元法求解：
   • 由容积约束 $xyz = 128$，可得 $z=\frac{128}{xy}$。
   • 将 $z=\frac{128}{xy}$ 代入总造价函数 $S=(xy + 4xz + 4yz)a$ 中，消去 $z$，得到关于 $x$、$y$ 的函数 $f(x,y)=xy + 4x\cdot\frac{128}{xy}+4y\cdot\frac{128}{xy}=xy+\frac{512}{y}+\frac{512}{x}$。
   • 分别对 $x$、$y$ 求偏导数：
     • $\frac{\partial f}{\partial x}=y-\frac{512}{x^{2}} = 0$，即 $y=\frac{512}{x^{2}}$ ⑤；
     • $\frac{\partial f}{\partial y}=x-\frac{512}{y^{2}} = 0$，即 $x=\frac{512}{y^{2}}$ ⑥。
   • 将⑤代入⑥得：$x=\frac{512}{(\frac{512}{x^{2}})^{2}}=\frac{x^{4}}{512}$，即 $x^{3}=512$，解得 $x = 8$。
   • 把 $x = 8$ 代入⑤得 $y = 8$，再将 $x = 8$，$y = 8$ 代入 $z=\frac{128}{xy}$，得 $z = 2$。