题目
练习：要造一个容积为128m³的长方体敞口水池，已知水池侧壁单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？
练习：要造一个容积为128m³的长方体敞口水池，已知水池侧壁单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？
题目解答
答案
设水池长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$ 米，底部单位造价为 $a$，则总造价为：
\[
S = (xy + 4xz + 4yz)a
\]
由容积约束 $xyz = 128$，利用拉格朗日乘数法或代入消元法求解。
令 $L = xy + 4xz + 4yz + \lambda(xyz - 128)$，求偏导数并令其为零，解得：
\[
x = y = 8, \quad z = 2
\]
或通过代入 $z = \frac{128}{xy}$，最小化函数 $f(x, y) = xy + \frac{512}{x} + \frac{512}{y}$，同样得到：
\[
x = y = 8, \quad z = 2
\]
**答案：** 水池的长、宽、高分别为 $\boxed{8 \text{ 米} \times 8 \text{ 米} \times 2 \text{ 米}}$。